[2,0] Calcular as integrais
integral0^1 ln t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^1ln t,dt
O conteúdo é integração de função logarítmica, e vamos usar o método de integração por partes junto com o limite para tratar o comportamento em t=0.

Passo 2

Definimos a integral como limite para lidar com a singularidade em t=0:
I = integral0^1ln t,dt = limato0^+integrala^1ln t,dt

Passo 3

Aplicamos integração por partes em integrala^1ln t,dt. Escolhemos
u = ln t, dv = dt,
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du = 1t,dt, v = t
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, temos
integrala^1ln t,dt = l[tln tr]t=a^t=1 - integrala^1tcdot1t,dt

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente:
l[tln tr]a^1 = (1cdotln1) - l(aln ar) = 0 - aln a,
e
integrala^11,dt = 1 - a
Portanto
integrala^1ln t,dt = -,aln a ;-;(1 - a) = -1 - aln a + a

Passo 5

Tomamos o limite ato0^+. Sabemos que aln ato0 quando ato0^+, e ato0. Logo
I = limato0^+l(-1 - aln a + ar) = -1

Resposta

integral0^1ln t,dt = -1

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