\boldsymbol{a}'(t) é o vetor velocidade (derivada da posição). Mede a direção do movimento.
\boldsymbol{a}''(t) é o vetor aceleração (derivada da velocidade). Mede como a direção/velocidade muda.
O produto vetorial \boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}'' é um vetor perpendicular ao plano formado por \boldsymbol{a}' e \boldsymbol{a}'' e sua norma mede “quanto” \boldsymbol{a}' está girando.
A divisão por \|\boldsymbol{a}'\|^3 normaliza pela escala da velocidade, produzindo uma quantidade geométrica (curvatura) independente da parametrização por velocidade.
Agora vamos calcular \boldsymbol{a}'(t), \boldsymbol{a}''(t), o produto vetorial e as normas, passo a passo.
Passo 3
Calculando \boldsymbol{a}'(t). Derivamos componente a componente, usando a regra do produto para e^{-t}\cdot\cos t e e^{-t}\cdot\sin t.
Para x(t)=e^{-t}\cos t:
x'(t)=\frac{d}{dt}(e^{-t})\cos t + e^{-t}\frac{d}{dt}(\cos t) =-e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t = -e^{-t}(\cos t+\sin t).
Para y(t)=e^{-t}\sin t:
y'(t)=-e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t = e^{-t}(\cos t - \sin t).
Calculando \boldsymbol{a}''(t). Novamente derivamos cada componente de \boldsymbol{a}'(t). É prático escrever \boldsymbol{a}'(t)=e^{-t}\mathbf{v}(t) com \mathbf{v}(t)=(-\cos t-\sin t,\;\cos t-\sin t,\;-1) e aplicar a regra do produto:
Calcular o produto vetorial \boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{a}''(t). Como \boldsymbol{a}'(t)=e^{-t}\mathbf{v}(t) e \boldsymbol{a}''(t)=e^{-t}\mathbf{w}(t) com
Os termos 2\cos t\sin t e -2\cos t\sin t se cancelam, e \cos^2 t+\sin^2 t=1. Então o somatório das duas primeiras parcelas é 1+1=2. Somando 4 obtemos 6. Assim
Interpretação rápida e cheirinho prático: a curvatura cresce exponencialmente com t porque e^{t} aparece no numerador final. Por exemplo, em t=0 temos \kappa(0)=\frac{\sqrt{2}}{3}.