\{3,0\} Calcule a curvatura da seguinte curva:
\boldsymbol{a}(t)=\left(e^{-t} \cos t, e^{-t} \operatorname{sen} t, e^{-t}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a curvatura da curva dada pela função vetor
\boldsymbol{a}(t)=\left(e^{-t}\cos t,\; e^{-t}\sin t,\; e^{-t}\right).
Informações fornecidas:
\boldsymbol{a}(t)=\bigl(e^{-t}\cos t,\; e^{-t}\sin t,\; e^{-t}\bigr),
com t variável real. A tarefa é encontrar a função \kappa(t) (curvatura) associada a essa curva em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (curvatura de uma curva espacial regular):
\kappa(t)=\frac{\|\boldsymbol{a}'(t)\times \boldsymbol{a}''(t)\|}{\|\boldsymbol{a}'(t)\|^{3}}.
Explicando a fórmula de forma simples:
  • \boldsymbol{a}'(t) é o vetor velocidade (derivada da posição). Mede a direção do movimento.
  • \boldsymbol{a}''(t) é o vetor aceleração (derivada da velocidade). Mede como a direção/velocidade muda.
  • O produto vetorial \boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}'' é um vetor perpendicular ao plano formado por \boldsymbol{a}' e \boldsymbol{a}'' e sua norma mede “quanto” \boldsymbol{a}' está girando.
  • A divisão por \|\boldsymbol{a}'\|^3 normaliza pela escala da velocidade, produzindo uma quantidade geométrica (curvatura) independente da parametrização por velocidade.
Agora vamos calcular \boldsymbol{a}'(t), \boldsymbol{a}''(t), o produto vetorial e as normas, passo a passo.

Passo 3

Calculando \boldsymbol{a}'(t). Derivamos componente a componente, usando a regra do produto para e^{-t}\cdot\cos t e e^{-t}\cdot\sin t.
Para x(t)=e^{-t}\cos t:
x'(t)=\frac{d}{dt}(e^{-t})\cos t + e^{-t}\frac{d}{dt}(\cos t) =-e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t = -e^{-t}(\cos t+\sin t).
Para y(t)=e^{-t}\sin t:
y'(t)=-e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t = e^{-t}(\cos t - \sin t).
Para z(t)=e^{-t}:
z'(t)=-e^{-t}.
Portanto
\boldsymbol{a}'(t)=e^{-t}\bigl(-\cos t-\sin t,\; \cos t-\sin t,\; -1\bigr).

Passo 4

Calculando \boldsymbol{a}''(t). Novamente derivamos cada componente de \boldsymbol{a}'(t). É prático escrever \boldsymbol{a}'(t)=e^{-t}\mathbf{v}(t) com \mathbf{v}(t)=(-\cos t-\sin t,\;\cos t-\sin t,\;-1) e aplicar a regra do produto:
\boldsymbol{a}''(t)=\frac{d}{dt}(e^{-t})\mathbf{v}(t)+e^{-t}\mathbf{v}'(t)=-e^{-t}\mathbf{v}(t)+e^{-t}\mathbf{v}'(t)=e^{-t}\bigl(-\mathbf{v}(t)+\mathbf{v}'(t)\bigr).
Calculando \mathbf{v}'(t):
  • Derivada de -\cos t-\sin t é \sin t - \cos t.
  • Derivada de \cos t-\sin t é -\sin t - \cos t.
  • Derivada de -1 é 0.
    Logo
-\mathbf{v}+\mathbf{v}'=(\cos t+\sin t)+(\sin t-\cos t),\;(-\cos t+\sin t)+(-\sin t-\cos t),\;1
que simplifica para
(2\sin t,\; -2\cos t,\; 1).
Portanto
\boldsymbol{a}''(t)=e^{-t}\bigl(2\sin t,\; -2\cos t,\; 1\bigr).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{a}''(t). Como \boldsymbol{a}'(t)=e^{-t}\mathbf{v}(t) e \boldsymbol{a}''(t)=e^{-t}\mathbf{w}(t) com
\mathbf{v}(t)=(-\cos t-\sin t,\;\cos t-\sin t,\;-1),\qquad \mathbf{w}(t)=(2\sin t,\;-2\cos t,\;1),
temos
\boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{a}''(t)=e^{-t}e^{-t}\bigl(\mathbf{v}(t)\times\mathbf{w}(t)\bigr)=e^{-2t}\bigl(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\bigr).
Agora calcula-se \mathbf{v}\times\mathbf{w} por componentes:
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\bigl(v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1\bigr).
Substituindo:
  • v_2w_3-v_3w_2=(\cos t-\sin t)\cdot 1 - (-1)\cdot(-2\cos t)=\cos t-\sin t -2\cos t=-\cos t-\sin t.
  • v_3w_1-v_1w_3=(-1)\cdot(2\sin t)-(-\cos t-\sin t)\cdot 1=-2\sin t+\cos t+\sin t=\cos t-\sin t.
  • v_1w_2-v_2w_1=(-\cos t-\sin t)\cdot(-2\cos t)-(\cos t-\sin t)\cdot(2\sin t)=2(\cos^2 t+\cos t\sin t)-2(\sin t\cos t-\sin^2 t) =2(\cos^2 t+\sin^2 t)=2.
Portanto
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=(-\cos t-\sin t,\;\cos t-\sin t,\;2),
e
\boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{a}''(t)=e^{-2t}\bigl(-\cos t-\sin t,\;\cos t-\sin t,\;2\bigr).

Passo 6

Calcular a norma \|\boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{a}''(t)\|. Como fator comum e^{-2t},
\|\boldsymbol{a}'\times\boldsymbol{a}''\|=e^{-2t}\,\big\|(-\cos t-\sin t,\;\cos t-\sin t,\;2)\big\|.
Calculamos o quadrado da norma:
(-\cos t-\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2+2^2.
Expandindo:
(\cos^2 t+2\cos t\sin t+\sin^2 t)+(\cos^2 t-2\cos t\sin t+\sin^2 t)+4.
Os termos 2\cos t\sin t e -2\cos t\sin t se cancelam, e \cos^2 t+\sin^2 t=1. Então o somatório das duas primeiras parcelas é 1+1=2. Somando 4 obtemos 6. Assim
\big\|(-\cos t-\sin t,\;\cos t-\sin t,\;2)\big\|=\sqrt{6},
e então
\|\boldsymbol{a}'(t)\times\boldsymbol{a}''(t)\|=e^{-2t}\sqrt{6}.

Passo 7

Calcular \|\boldsymbol{a}'(t)\|. Lembrando \boldsymbol{a}'(t)=e^{-t}\mathbf{v}(t), temos
\|\boldsymbol{a}'(t)\|=e^{-t}\|\mathbf{v}(t)\|.
Calcule \|\mathbf{v}(t)\|^2:
(-\cos t-\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2+(-1)^2.
Já calculámos parcialmente antes: as duas primeiras somam 2, e adicionando 1 3. Portanto \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{3} e
\|\boldsymbol{a}'(t)\|=e^{-t}\sqrt{3}.
Logo
\|\boldsymbol{a}'(t)\|^{3}=e^{-3t}\,3^{3/2}=e^{-3t}\,3\sqrt{3}.

Passo 8

Agora aplicamos a fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{\|\boldsymbol{a}'(t)\times \boldsymbol{a}''(t)\|}{\|\boldsymbol{a}'(t)\|^{3}} =\frac{e^{-2t}\sqrt{6}}{e^{-3t}\,3\sqrt{3}}.
Simplificando fatores exponenciais e radicais:
\frac{e^{-2t}}{e^{-3t}}=e^{t},\qquad \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6/3}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Portanto
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{3}\,e^{t}.

Passo 9

Interpretação rápida e cheirinho prático: a curvatura cresce exponencialmente com t porque e^{t} aparece no numerador final. Por exemplo, em t=0 temos \kappa(0)=\frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\,e^{t}

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