Um tanque rígido e estanque com volume de 50 L contém água a 150^{\circ} \mathrm{C} e título de 95 \%. O tanque é então resfriado até 50^{\circ} \mathrm{C}. Calcular o calor transferido durante o processo.

Passo 1

O enunciado fornece um tanque rígido e estanque com volume total V=50\\ \mathrm{L}=0,05\\ \mathrm{m^3}. O fluido é água a T_1=150^\circ\mathrm{C} com título (qualidade) x_1=95\%=0,95. O tanque é resfriado até T_2=50^\circ\mathrm{C}.
Pergunta: calcular o calor transferido Q durante o processo.
Informações relevantes dadas: V=0,05\\ \mathrm{m^3}, T_1=150^\circ\mathrm{C}, x_1=0,95, T_2=50^\circ\mathrm{C}. O tanque é rígido e estanque (volume constante, massa constante, trabalho de fronteira W=0).

Passo 2

Estratégia e conceitos fundamentais (sem calcular ainda):
  • Em um sistema fechado e rígido sem variação de energia cinética/ potencial, a primeira lei reduz-se a \Delta E = Q - W. Aqui W=0 e como só há variação de energia interna, Q = m\,(u_2-u_1), onde m é a massa total e u a energia interna específica. Vou explicar cada termo.
  • Para mistura saturada (líquido+vapor) usamos a qualidade x e as propriedades saturadas (líquido saturado e vapor saturado) retiradas das tabelas de vapor: v=(1-x)v_f + x v_g e u=(1-x)u_f + x u_g.
  • Como o volume total do tanque é fixo, a massa será m = \dfrac{V}{v_1}, onde v_1 é o volume específico da mistura no estado inicial. Esse v_1 é encontrado com x_1 e os valores v_f e v_g na temperatura de 150^\circ\mathrm{C}. Depois, com v=v_1 e as propriedades saturadas em 50^\circ\mathrm{C} obtém-se a qualidade final x_2 e as energias internas específicas u_1 e u_2.
  • Observação: todas as propriedades saturadas ( v_f,\;v_g,\;u_f,\;u_g ) serão tomadas das tabelas de vapor para 150^\circ\mathrm{C} e 50^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Pegar as propriedades saturadas (valores retirados das tabelas de vapor saturado):
Para T_1=150^\circ\mathrm{C} (valores da tabela):
v_{f,150}=0{,}001091\\ \mathrm{m^3/kg},\qquad v_{g,150}=0{,}39279\\ \mathrm{m^3/kg}
u_{f,150}\approx 631{,}18\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad u_{g,150}\approx 2\,530{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}
Para T_2=50^\circ\mathrm{C} (valores da tabela):
v_{f,50}=0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg},\qquad v_{g,50}=12{,}032\\ \mathrm{m^3/kg}
u_{f,50}\approx 209{,}33\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad u_{g,50}\approx 2\,675{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}
(Nota: esses números são os valores típicos das tabelas de vapor saturado; em prova use a tabela fornecida.)

Passo 4

Calcular o volume específico inicial v_1 da mistura em 150^\circ\mathrm{C} usando x_1=0{,}95:
v_1=(1-x_1)v_{f,150}+x_1 v_{g,150}
Substituindo:
v_1=0{,}05\cdot 0{,}001091 + 0{,}95\cdot 0{,}39279 = 0{,}37320505\\ \mathrm{m^3/kg}

Passo 5

Calcular a massa total m usando m=V/v_1 com V=0{,}05\\ \mathrm{m^3}:
m=\frac{0{,}05}{0{,}37320505}=0{,}133877\\ \mathrm{kg}\\ (\approx 0{,}1339\\ \mathrm{kg}).

Passo 6

Determinar a qualidade final x_2 em T_2=50^\circ\mathrm{C} sabendo que o volume específico não muda ( v_2=v_1). Usamos
v_2=v_{f,50}+x_2\,(v_{g,50}-v_{f,50}) \quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{v_2-v_{f,50}}{v_{g,50}-v_{f,50}}.
Substituindo v_2=v_1=0{,}37320505\\ \mathrm{m^3/kg}:
x_2=\frac{0{,}37320505-0{,}001012}{12{,}032-0{,}001012}=\frac{0{,}37219305}{12{,}030988}\approx 0{,}03093.
Portanto, x_2\approx 0{,}0309 (ou 3{,}09\% de vapor na mistura final) — faz sentido físico: ao resfriar muito, a maior parte condensou.

Passo 7

Calcular as energias internas específicas iniciais e finais usando a fórmula de mistura u=(1-x)u_f + x u_g.
Energia interna específica inicial u_1 em 150^\circ\mathrm{C}:
u_1=(1-x_1)u_{f,150}+x_1 u_{g,150}=0{,}05\cdot 631{,}18 + 0{,}95\cdot 2\,530{,}9
u_1=31{,}559 + 2\,404{,}355 = 2\,435{,}914\\ \mathrm{kJ/kg}.
Energia interna específica final u_2 em 50^\circ\mathrm{C}:
u_2=(1-x_2)u_{f,50}+x_2 u_{g,50}=0{,}96907\cdot 209{,}33 + 0{,}03093\cdot 2\,675{,}5
u_2=202{,}847 + 82{,}780 \approx 285{,}627\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 8

Calcular o calor trocado Q com Q=m\,(u_2-u_1) (lembre: W=0).
\Delta u = u_2-u_1 = 285{,}627 - 2\,435{,}914 = -2\,150{,}287\\ \mathrm{kJ/kg}.
Q = m\,\Delta u = 0{,}133877\cdot (-2\,150{,}287) \approx -287{,}8\\ \mathrm{kJ}.
O sinal negativo indica que houve retirada de calor do sistema (o tanque cedeu calor ao ambiente).

Resposta

Q \approx -288\\ \mathrm{kJ}

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