Água escoa a
a partir de um reservatório cuja cota-do níveł d’água é 4 m , através de um tubo horizontal
com 100 m de comprimento e fator de atrito
igual a 0,03 . Ao final dessa tubulação, o escoamento passa por uma constrição suave, em que o diâmetro do tubo é reduzido de 100 mm para 50 mm segundo um ângulo de
, descarregando para a atmosfera. Admitindo que o coeficiente de perda de carga na saída do reservatório seja de 0,50 e que o coeficiente de perda de carga na constrição pode ser estimado pela tabela abaixo, referenciada a seção de maior velocidade, calcular a perda de carga total do escoamento.
Table 1: Coeficientes de Perda (
) para Contrações Graduais: Dutos Circulares e Retangulares\captionsetup{labelformat=empty}
Angulo Incluso,
, Graus
10
90
120
150
180
Escoamento
0,50
0,05
0,05
0,06
0,12
0,18
0,24
0,26
0,25
0,05
0,04
0,07
0,17
0,27
0,35
0,41
0,10
0,05
0,05
0,08
0,19
0,29
0,37
0,43
Table 1: Coeficientes de Perda (
) para Contrações Graduais: Dutos Circulares e Retangulares
\captionsetup{labelformat=empty}
| Angulo Incluso,
|
|||||||||
|
|
10 |
|
|
90 | 120 | 150 | 180 | ||
| Escoamento
|
|
0,50 | 0,05 | 0,05 | 0,06 | 0,12 | 0,18 | 0,24 | 0,26 |
|
|
0,25 | 0,05 | 0,04 | 0,07 | 0,17 | 0,27 | 0,35 | 0,41 | |
| 0,10 | 0,05 | 0,05 | 0,08 | 0,19 | 0,29 | 0,37 | 0,43 | ||
Passo 1
O enunciado pede: calcular a perda de carga total do escoamento.\n
Dados fornecidos (listei tudo para não nos perder):\n
Dados fornecidos (listei tudo para não nos perder):\n
- Vazão:
.\n - Cota do nível do reservatório:
(informação de referência, não vamos presumir continuidade de energia sem perdas neste passo).\n - Tubulação horizontal de comprimento
e diâmetro inicial (essa é a tubulação onde ocorre o atrito).\n - Na extremidade há uma constrição suave que reduz o diâmetro para
, com ângulo incluso .\n - Fator de atrito (Darcy) no trecho de
: .\n - Coeficiente de perda de carga na saída do reservatório (entrada na tubulação):
.\n - Coeficiente de perda de carga na contração: deve ser obtido na tabela fornecida, referenciada à seção de maior velocidade (ou seja, referenciada à seção com velocidade maior — aqui a seção de diâmetro menor,
).\n - Observação da tabela: para
e o coeficiente indicado é (peguei esse valor diretamente da tabela para a razão de áreas e ângulo ).\n
Objetivo operacional: calcular todas as perdas relevantes (perda na saída do reservatório, perda por atrito ao longo do tubo, perda na constrição) e somá-las para obter a perda de carga total.
Passo 2
Calcular as áreas das duas seções (vou mostrar fórmula e substituir números).\n
Fórmula da área de um círculo:
onde
é o diâmetro.\n
Para a seção 1 (
):
\n
Para a seção 2 (
):
\n
Verificação rápida da razão de áreas:
concordando com a linha da tabela que usei.
Passo 3
Calcular as velocidades médias em cada seção usando a relação básica entre vazão, área e velocidade:\n
Fórmula:
onde
é a velocidade média na seção,
a vazão e
a área.\n
Velocidade na seção maior (
):
\n
Velocidade na seção menor (
):
\n
Observação didática: como
, a área reduz a um quarto, logo a velocidade aumenta por um fator 4 — note
. Isso é útil para evitar recalcular:
.
Passo 4
Calcular a perda de carga na saída do reservatório (entrada na tubulação) — perda local do tipo “entrada” ou “saída do reservatório”.\n
Fórmula para perda local:
onde
é a perda de carga (em metros),
é o coeficiente adimensional de perda,
é a velocidade de referência para esse coeficiente e
é a aceleração da gravidade (
).\n
Aqui o coeficiente dado é e a velocidade de referência é a velocidade na tubulação
(porque o reservatório se conecta à tubulação de diâmetro
).\n
Aqui o coeficiente dado é
Calcule primeiro o termo da energia cinética por unidade de peso:
\n
Agora a perda local de saída do reservatório:
Passo 5
Calcular a perda de carga por atrito ao longo do trecho de
com diâmetro
usando a equação de Darcy–Weisbach.\n
Equação (Darcy–Weisbach):
onde
é a perda por atrito (m),
é o fator de atrito adimensional (Darcy),
é o comprimento do trecho (m),
é o diâmetro (m),
é a velocidade média no trecho (m/s) e
é a gravidade.\n
No nosso caso:
,
,
e a velocidade é
. Primeiro calcule
:
\n
Já temos
(do passo anterior). Substituindo:\n
Comentário didático: essa fórmula mostra que para tubos longos (grande
) e velocidades relativamente altas a perda por atrito pode crescer bastante. O fator
resume efeitos de rugosidade e regime de escoamento.
Passo 6
Calcular a perda de carga na constrição suave (contração).\n
Interpretação da tabela: o enunciado manda usar o valor da tabela referenciado à seção de maior velocidade; como a seção de maior velocidade é a pequena ( ), o coeficiente
da tabela multiplica
.\n
Para e
peguei
(valor da tabela fornecida).\n
Interpretação da tabela: o enunciado manda usar o valor da tabela referenciado à seção de maior velocidade; como a seção de maior velocidade é a pequena (
Para
Usando a mesma fórmula de perda local:
\n
Como
, podemos usar a relação anterior:
\n
Agora a perda na contração:\n
Agora a perda na contração:\n
Passo 7
Somar todas as perdas para obter a perda de carga total do escoamento.\n
Componentes que somamos: perda na saída do reservatório, perda por atrito ao longo do tubo, perda na contração. Portanto:\n
Componentes que somamos: perda na saída do reservatório, perda por atrito ao longo do tubo, perda na contração. Portanto:\n
Substituindo os valores calculados:\n
Arredondando de forma adequada (duas casas decimais):
\n
Comentário final e incentivo: sei que o valor numérico parece grande em relação à cota do reservatório ( ), isso indica que, com os dados fornecidos (vazão alta, tubo estreito e comprimento grande), as perdas calculadas são maiores que a carga disponível — ou seja, na prática esse escoamento não seria sustentado sem uma fonte adicional de energia. Mas para o exercício a pergunta era só somar as perdas, e é isso que fizemos passo a passo.
Comentário final e incentivo: sei que o valor numérico parece grande em relação à cota do reservatório (