Água escoa a 40 \mathrm{~L} \cdot \mathrm{~s}^{-1} a partir de um reservatório cuja cota-do níveł d’água é 4 m , através de um tubo horizontal (\operatorname{cota}=0) com 100 m de comprimento e fator de atrito (\mathrm{f}) igual a 0,03 . Ao final dessa tubulação, o escoamento passa por uma constrição suave, em que o diâmetro do tubo é reduzido de 100 mm para 50 mm segundo um ângulo de 120^{\circ}, descarregando para a atmosfera. Admitindo que o coeficiente de perda de carga na saída do reservatório seja de 0,50 e que o coeficiente de perda de carga na constrição pode ser estimado pela tabela abaixo, referenciada a seção de maior velocidade, calcular a perda de carga total do escoamento.
Table 1: Coeficientes de Perda ( K ) para Contrações Graduais: Dutos Circulares e Retangulares
\captionsetup{labelformat=empty}
Angulo Incluso, \theta, Graus
A_{2} / A_{1} 10 15-40 50-60 90 120 150 180
Escoamento \theta A_{2} 0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26
A_{1} 0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41
0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43

Passo 1

O enunciado pede: calcular a perda de carga total do escoamento.\n
Dados fornecidos (listei tudo para não nos perder):\n
  • Vazão: Q = 40\\ \mathrm{L\cdot s^{-1}} = 0,04\\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}.\n
  • Cota do nível do reservatório: 4\\ \mathrm{m} (informação de referência, não vamos presumir continuidade de energia sem perdas neste passo).\n
  • Tubulação horizontal de comprimento L = 100\\ \mathrm{m} e diâmetro inicial D_1 = 100\\ \mathrm{mm} = 0,100\\ \mathrm{m} (essa é a tubulação onde ocorre o atrito).\n
  • Na extremidade há uma constrição suave que reduz o diâmetro para D_2 = 50\\ \mathrm{mm} = 0,050\\ \mathrm{m}, com ângulo incluso \theta = 120^\circ.\n
  • Fator de atrito (Darcy) no trecho de D_1: f = 0,03.\n
  • Coeficiente de perda de carga na saída do reservatório (entrada na tubulação): K_{\text{saida\_reserv}} = 0,50.\n
  • Coeficiente de perda de carga na contração: deve ser obtido na tabela fornecida, referenciada à seção de maior velocidade (ou seja, referenciada à seção com velocidade maior — aqui a seção de diâmetro menor, D_2).\n
  • Observação da tabela: para A_2/A_1 = 0,25 e \theta = 120^\circ o coeficiente indicado é K_{\text{contração}} = 0,27çã (peguei esse valor diretamente da tabela para a razão de áreas A_2/A_1 = 0,25 e ângulo 120^\circ).\n
    Objetivo operacional: calcular todas as perdas relevantes (perda na saída do reservatório, perda por atrito ao longo do tubo, perda na constrição) e somá-las para obter a perda de carga total.

Passo 2

Calcular as áreas das duas seções (vou mostrar fórmula e substituir números).\n
Fórmula da área de um círculo: A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde D é o diâmetro.\n
Para a seção 1 ( D_1): A_{1}=\frac{\pi D_{1}^{2}}{4}=\frac{\pi (0,100)^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 0,0100}{4}=0,0078539816\\ \mathrm{m^{2}}.\n
Para a seção 2 ( D_2): A_{2}=\frac{\pi D_{2}^{2}}{4}=\frac{\pi (0,050)^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 0,0025}{4}=0,0019634954\\ \mathrm{m^{2}}.\n
Verificação rápida da razão de áreas: \frac{A_{2}}{A_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{2}=\left(\frac{0,050}{0,100}\right)^{2}=0,25,
concordando com a linha da tabela que usei.

Passo 3

Calcular as velocidades médias em cada seção usando a relação básica entre vazão, área e velocidade:\n
Fórmula: V=\frac{Q}{A},
onde V é a velocidade média na seção, Q a vazão e A a área.\n
Velocidade na seção maior ( D_1): V_{1}=\frac{Q}{A_{1}}=\frac{0,04}{0,0078539816}=5,092958\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.\n
Velocidade na seção menor ( D_2): V_{2}=\frac{Q}{A_{2}}=\frac{0,04}{0,0019634954}=20,371832\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.\n
Observação didática: como D_2 = \tfrac{1}{2}D_1, a área reduz a um quarto, logo a velocidade aumenta por um fator 4 — note V_{2}\approx 4V_{1}. Isso é útil para evitar recalcular: V_{2}=4V_{1}.

Passo 4

Calcular a perda de carga na saída do reservatório (entrada na tubulação) — perda local do tipo “entrada” ou “saída do reservatório”.\n
Fórmula para perda local: h_{K}=K\frac{V^{2}}{2g},
onde h_{K} é a perda de carga (em metros), K é o coeficiente adimensional de perda, V é a velocidade de referência para esse coeficiente e g é a aceleração da gravidade ( g=9,81\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}).\n
Aqui o coeficiente dado é K_{\text{saida\_reserv}}=0,50 e a velocidade de referência é a velocidade na tubulação V_{1} (porque o reservatório se conecta à tubulação de diâmetro D_1).\n
Calcule primeiro o termo da energia cinética por unidade de peso: \frac{V_{1}^{2}}{2g}=\frac{(5,092958)^{2}}{2\cdot 9,81}=\frac{25,94617}{19,62}=1,3229995\\ \mathrm{m}.\n
Agora a perda local de saída do reservatório: h_{\text{saida\_reserv}}=K_{\text{saida\_reserv}}\frac{V_{1}^{2}}{2g}=0,50\times 1,3229995=0,6614998\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a perda de carga por atrito ao longo do trecho de 100\\ \mathrm{m} com diâmetro D_1 usando a equação de Darcy–Weisbach.\n
Equação (Darcy–Weisbach): h_{f}=f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g},
onde h_{f} é a perda por atrito (m), f é o fator de atrito adimensional (Darcy), L é o comprimento do trecho (m), D é o diâmetro (m), V é a velocidade média no trecho (m/s) e g é a gravidade.\n
No nosso caso: f=0,03, L=100\\ \mathrm{m}, D=D_{1}=0,100\\ \mathrm{m} e a velocidade é V_{1}. Primeiro calcule \dfrac{L}{D}: \frac{L}{D_{1}}=\frac{100}{0,100}=1000.\n
Já temos \dfrac{V_{1}^{2}}{2g}=1,3229995\\ \mathrm{m} (do passo anterior). Substituindo:\n
h_{f}=0,03\times 1000\times 1,3229995=30\times 1,3229995=39,689985\\ \mathrm{m}.\n
Comentário didático: essa fórmula mostra que para tubos longos (grande L/D) e velocidades relativamente altas a perda por atrito pode crescer bastante. O fator f resume efeitos de rugosidade e regime de escoamento.

Passo 6

Calcular a perda de carga na constrição suave (contração).\n
Interpretação da tabela: o enunciado manda usar o valor da tabela referenciado à seção de maior velocidade; como a seção de maior velocidade é a pequena ( D_2), o coeficiente K_{\text{contração}}çã da tabela multiplica \dfrac{V_{2}^{2}}{2g}.\n
Para A_{2}/A_{1}=0,25 e \theta=120^\circ peguei K_{\text{contração}}=0,27çã (valor da tabela fornecida).\n
Usando a mesma fórmula de perda local: h_{\text{contração}}=K_{\text{contração}}\frac{V_{2}^{2}}{2g}.çãçã\n
Como V_{2}=4V_{1}, podemos usar a relação anterior: \dfrac{V_{2}^{2}}{2g}=16\cdot \dfrac{V_{1}^{2}}{2g}=16\times 1,3229995=21,167992\\ \mathrm{m}.\n
Agora a perda na contração:\n
h_{\text{contração}}=0,27\times 21,167992=5,7147589\\ \mathrm{m}.çã

Passo 7

Somar todas as perdas para obter a perda de carga total do escoamento.\n
Componentes que somamos: perda na saída do reservatório, perda por atrito ao longo do tubo, perda na contração. Portanto:\n
h_{\text{total}}=h_{\text{saida\_reserv}}+h_{f}+h_{\text{contração}}.çã\n
Substituindo os valores calculados:\n
h_{\text{total}}=0,6614998 + 39,689985 + 5,7147589 = 46,0662437\\ \mathrm{m}.\n
Arredondando de forma adequada (duas casas decimais): h_{\text{total}}\approx 46,07\\ \mathrm{m}.\n
Comentário final e incentivo: sei que o valor numérico parece grande em relação à cota do reservatório ( 4\\ \mathrm{m}), isso indica que, com os dados fornecidos (vazão alta, tubo estreito e comprimento grande), as perdas calculadas são maiores que a carga disponível — ou seja, na prática esse escoamento não seria sustentado sem uma fonte adicional de energia. Mas para o exercício a pergunta era só somar as perdas, e é isso que fizemos passo a passo.

Resposta

h_{\text{total}}=46,07\\ \mathrm{m}

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