[0,7 ponto ] Encontre a fórmula fechada para a seguinte recorrência \left\{\begin{array}{c}x_{1}=1 \\\ x_{n+1}=x_{n}+2^{n}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{x_n\} por
x_{1}=1, \quad x_{n+1}=x_{n}+2^{n},
para n\ge1.
Este é um caso de recorrência não–homogênea em diferença finita, e podemos resolvê-la “desenrolando” ou somando um série geométrica.

Passo 2

Aplicando a relação x_{k+1}-x_{k}=2^{k} para k=1,2,\dots,n-1 e somando, obtém-se
\sum_{k=1}^{n-1}\bigl(x_{k+1}-x_{k}\bigr) =\sum_{k=1}^{n-1}2^{k}.
O lado esquerdo telescopa e dá x_{n}-x_{1}. Como x_{1}=1, segue
x_{n}-1=\sum_{k=1}^{n-1}2^{k}.

Passo 3

Para a soma geométrica usamos
\sum_{k=1}^{n-1}2^{k} =\biggl(\sum_{k=0}^{n-1}2^{k}\biggr)-2^{0} =(2^{n}-1)-1 =2^{n}-2.

Passo 4

Substituindo em x_{n}-1=2^{n}-2, vem
x_{n}=1+(2^{n}-2)=2^{n}-1.

Resposta

x_{n}=2^{n}-1.

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