ponto
Para qualquer inteiro positivo
é sempre verdadeiro?
Passo 1
O enunciado pergunta se, para todo inteiro positivo
, vale sempre a desigualdade
O conteúdo aqui é a comparação entre o crescimento de
(fatorial) e de uma potência polinomial
. Vamos primeiro testar valores pequenos de
, depois mostrar um argumento geral de monotonicidade para decidir o que acontece para
maiores.
Passo 2
Calculemos o quociente
e comparemos com 1 para
:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Portanto a desigualdade é verdadeira para
e falha em
.
Passo 3
Agora mostramos que, uma vez que falha em
, ela continuará falhando para todo
. Note que
Para todo
temos
ou seja,
. Logo a sequência
é crescente. Como já vimos que
e
, para todo
vem
, o que equivale a
Resposta
Não. A desigualdade
vale somente para
e deixa de ser verdadeira a partir de
.