[0,7 ponto ] Para qualquer inteiro positivo n,(n!)^{2}<2 n^{5} é sempre verdadeiro?

Passo 1

O enunciado pergunta se, para todo inteiro positivo n, vale sempre a desigualdade
(n!)^{2} < 2\,n^{5}.
O conteúdo aqui é a comparação entre o crescimento de n! (fatorial) e de uma potência polinomial n^{5}. Vamos primeiro testar valores pequenos de n, depois mostrar um argumento geral de monotonicidade para decidir o que acontece para n maiores.

Passo 2

Calculemos o quociente
a_{n} = \frac{(n!)^{2}}{2\,n^{5}}
e comparemos com 1 para n=1,2,3,4,5:
Para n=1:
a_{1} = \frac{(1!)^{2}}{2\cdot1^{5}} = \frac{1}{2} = 0{,}5 < 1.
Para n=2:
a_{2} = \frac{(2!)^{2}}{2\cdot2^{5}} = \frac{4}{64} = 0{,}0625 < 1.
Para n=3:
a_{3} = \frac{(3!)^{2}}{2\cdot3^{5}} = \frac{36}{2\cdot243} = \frac{36}{486} \approx 0{,}074 < 1.
Para n=4:
a_{4} = \frac{(4!)^{2}}{2\cdot4^{5}} = \frac{576}{2\cdot1024} = \frac{576}{2048} = 0{,}28125 < 1.
Para n=5:
a_{5} = \frac{(5!)^{2}}{2\cdot5^{5}} = \frac{14400}{2\cdot3125} = \frac{14400}{6250} = 2{,}304 > 1.
Portanto a desigualdade é verdadeira para n=1,2,3,4 e falha em n=5.

Passo 3

Agora mostramos que, uma vez que falha em n=5, ela continuará falhando para todo n>5. Note que
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}/\bigl(2(n+1)^{5}\bigr)} {(n!)^{2}/\bigl(2n^{5}\bigr)} = \frac{(n+1)^{2}\,(n!)^{2}}{2\,(n+1)^{5}} \cdot \frac{2\,n^{5}}{(n!)^{2}} = \frac{n^{5}}{(n+1)^{3}}.
Para todo n\ge1 temos
n^{5} > (n+1)^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{n^{5}}{(n+1)^{3}} > 1,
ou seja, a_{n+1}>a_{n}. Logo a sequência \{a_{n}\} é crescente. Como já vimos que a_{4}<1 e a_{5}>1, para todo n\ge5 vem a_{n}>1, o que equivale a
(n!)^{2} > 2\,n^{5}.

Resposta

Não. A desigualdade (n!)^{2}<2\,n^{5} vale somente para n=1,2,3,4 e deixa de ser verdadeira a partir de n=5.

Exercícios relacionados