Resolva as seguintes inequações:
\frac{x^{2}-x}{3 x+1} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{2}-x}{3x+1}\ge 0.
O conteúdo envolve análise de sinais de uma função racional. Para isso, vamos:
  1. Determinar o domínio (proibir valores que façam o denominador zero).
  2. Encontrar as raízes do numerador.
  3. Estudar o sinal de numerador e denominador em cada intervalo crítico.
  4. Combinar os sinais para achar onde a fração é não negativa.

Passo 2

Encontre os pontos críticos:
  • Denominador zero quando 3x+1=0, isto é, x=-\tfrac{1}{3}. Esse valor deve ser excluído do domínio.
  • Numerador zero quando x^{2}-x=0, isto é, x(x-1)=0, logo x=0 ou x=1.

Passo 3

Analise o sinal do numerador x(x-1):
  • Para x<0: x<0 e x-1<0 ⇒ produto positivo.
  • Para 0<x<1: x>0 e x-1<0 ⇒ produto negativo.
  • Para x>1: x>0 e x-1>0 ⇒ produto positivo.
    Em x=0 e x=1 o numerador é zero.

Passo 4

Analise o sinal do denominador 3x+1:
  • Para x<-\tfrac{1}{3}: 3x+1<0.
  • Para x>-\tfrac{1}{3}: 3x+1>0.
    Em x=-\tfrac{1}{3} o denominador é zero (valor excluído).

Passo 5

Monte a combinação de sinais nos intervalos determinados pelos pontos -\infty, -\tfrac{1}{3}, 0, 1 e +\infty:
Intervalo | Sinal do num. | Sinal do denom. | Quociente
----------------- | ------------- | --------------- | ---------- (-\infty,-\tfrac13) | + | - | - (-\tfrac13,0) | + | + | + 0 | 0 | + | 0 (0,1) | - | + | - 1 | 0 | + | 0 (1,\infty) | + | + | +
Queremos \frac{x^{2}-x}{3x+1}\ge0, isto é, quociente positivo ou zero.

Passo 6

Das análises acima, a fração é >=0 nos intervalos onde o quociente é positivo ou zero, respeitando a exclusão de x=-\tfrac13. Assim:
  • Em (-\tfrac13,0) é positiva.
  • Em x=0 vale zero (incluído).
  • Em (0,1) é negativa (excluída).
  • Em x=1 vale zero (incluído).
  • Em (1,\infty) é positiva.

Resposta

x\in\bigl(-\tfrac13,0\bigr]\;\cup\;[1,\infty).

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