[0,7 ponto ] Prove que a soma de um inteiro ímpar com o cubo de um inteiro ímpar é par.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados dois inteiros ímpares, a soma de um deles com o cubo do outro é um número par. O conteúdo envolvido é paridade de inteiros (números pares e ímpares) e usaremos a representação genérica de um inteiro ímpar como 2k+1, com k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Seja m um inteiro ímpar. Então existem k\in\mathbb{Z} tal que
m = 2k + 1.
Seja também n um inteiro ímpar. Então existem l\in\mathbb{Z} tal que
n = 2l + 1.

Passo 3

Calculamos o cubo de n:
n^3 = (2l + 1)^3 = 8l^3 + 12l^2 + 6l + 1.
Agrupando os termos múltiplos de 2, escrevemos
n^3 = 2\bigl(4l^3 + 6l^2 + 3l\bigr) + 1.
Logo n^3 também é ímpar, pois tem a forma 2(\text{inteiro}) + 1.

Passo 4

Agora somamos m e n^3:
m + n^3 = \bigl(2k + 1\bigr) + \bigl[2(4l^3 + 6l^2 + 3l) + 1\bigr].
Reagrupando,
m + n^3 = 2k + 2(4l^3 + 6l^2 + 3l) + 2 = 2\bigl(k + 4l^3 + 6l^2 + 3l + 1\bigr).
Como é um múltiplo de 2, concluímos que m + n^3 é par.

Resposta

A soma de um inteiro ímpar com o cubo de um inteiro ímpar é sempre um número par.

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