5^{2} Questão: Se u=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1 / 2}, mostre que \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0

Passo 1

O enunciado define
u(x,y,z) = \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{-1/2}
e pede para mostrar que o laplaciano de u, isto é
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}},
vale zero. Vamos usar regra de cadeia e produto para calcular derivadas parciais até a segunda ordem em cada variável e depois somar.

Passo 2

Calculando a primeira derivada em x:
u = (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}
logo, pela regra da cadeia,
\frac{\partial u}{\partial x} = -\tfrac12\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -\,x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}.

Passo 3

Agora a segunda derivada em x, usando produto e cadeia em \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = -x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}:
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = -\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2} +(-x)\cdot\bigl(-\tfrac32\bigr)\cdot 2x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-5/2}
= -(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2} +3x^{2}\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-5/2}
= \frac{-\,(x^{2}+y^{2}+z^{2}) +3x^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}} = \frac{2x^{2}-y^{2}-z^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}.

Passo 4

Pela total simetria em x,y,z, obtemos analogamente
\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = \frac{2y^{2}-x^{2}-z^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}},
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}} = \frac{2z^{2}-x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}.

Passo 5

Somando as três segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} +\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}} = \frac{2x^{2}-y^{2}-z^{2} + 2y^{2}-x^{2}-z^{2} + 2z^{2}-x^{2}-y^{2}} {(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}
= \frac{(2x^{2}-x^{2}-x^{2}) + (2y^{2}-y^{2}-y^{2}) + (2z^{2}-z^{2}-z^{2})} {(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}} = \frac{0}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}} = 0.

Resposta

0

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