Questão: Se
, mostre que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que o laplaciano de
, isto é
vale zero. Vamos usar regra de cadeia e produto para calcular derivadas parciais até a segunda ordem em cada variável e depois somar.
Passo 2
Calculando a primeira derivada em
:
logo, pela regra da cadeia,
Passo 3
Agora a segunda derivada em
, usando produto e cadeia em
:
Passo 4
Pela total simetria em
, obtemos analogamente
Passo 5
Somando as três segundas derivadas: