3a Questão: Mostre que
é independente do caminho, determinando uma função potencial f para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
é independente do caminho, encontrando uma função potencial para o campo
é independente do caminho, encontrando uma função potencial
O conteúdo necessário é o teste de conservatividade: em um domínio simplesmente conexo, se
então existe tal que
.
então existe
Passo 2
Identificamos
Calculamos
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Segue que
, isto é,
(constante).
Passo 5
Portanto, uma função potencial é
e assim
,
independente do caminho.
independente do caminho.