3a Questão: Mostre que \iint_{c} F . d r é independente do caminho, determinando uma função potencial f para F(x, y)=\left(5 y^{3}+4 y^{3} \operatorname{sec} ^{2} x\right) i+\left(15 x y^{2}+12 y^{2} \operatorname{tg} x\right) j.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha \displaystyle \iint_{c}F\cdot d\mathbf{r}
é independente do caminho, encontrando uma função potencial f para o campo
F(x,y)=\bigl(5y^{3}+4y^{3}\operatorname{sec}^{2}x\bigr)\,i+\bigl(15xy^{2}+12y^{2}\tan x\bigr)\,j.
O conteúdo necessário é o teste de conservatividade: em um domínio simplesmente conexo, se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x
então existe f tal que \nabla f=F.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=5y^{3}+4y^{3}\operatorname{sec}^{2}x, \qquad Q(x,y)=15xy^{2}+12y^{2}\tan x.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5y^{3}+4y^{3}\operatorname{sec}^{2}x\bigr) =15y^{2}+12y^{2}\operatorname{sec}^{2}x,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(15xy^{2}+12y^{2}\tan x\bigr) =15y^{2}+12y^{2}\operatorname{sec}^{2}x.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) =\int\bigl(5y^{3}+4y^{3}\operatorname{sec}^{2}x\bigr)\,dx =5xy^{3}+4y^{3}\tan x+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos f em relação a y e igualamos a Q:
\frac{\partial f}{\partial y} =15xy^{2}+12y^{2}\tan x+g'(y) \overset{!}{=}15xy^{2}+12y^{2}\tan x.
Segue que g'(y)=0, isto é, g(y)=C (constante).

Passo 5

Portanto, uma função potencial é
f(x,y)=5xy^{3}+4y^{3}\tan x+C,
e assim \displaystyle \iint_{c}F\cdot d\mathbf{r}=f\bigl(\text{ponto final}\bigr)-f\bigl(\text{ponto inicial}\bigr),
independente do caminho.

Resposta

f(x,y)=5xy^{3}+4y^{3}\tan x+C.

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