Calcule, em cada item,
, caso exista. Justifique sua fesposta.
a_{n}=\int_{1}^{n} \frac{1}{x^{5}} d x.
a_{n}=\int_{1}^{n} \frac{1}{x^{5}} d x.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite, quando
, da sequência
Informações dadas:
- A sequência
é definida por uma integral definida de a . - A função integranda é
. - A tarefa é determinar
, caso exista, e justificar.
Passo 2
Vamos lembrar uma regra básica de integração (regra da potência): para qualquer real
,
Explicando essa fórmula: derivando
usando a regra do poder, obtemos
, então essa primitiva está correta. Exemplo rápido: para
,
porque
.
Passo 3
Aplicamos a regra da potência ao integrando
(aqui
, e
então a fórmula vale). Uma primitiva de
é
Portanto, a integral definida de
a
é dada por avaliar essa primitiva nos extremos:
Passo 4
Agora avaliamos os extremos explicitamente:
Simplificando,
Passo 5
Calculamos o limite de
quando
. Observe que
quando
(potência positiva no denominador vai a zero). Logo
Passo 6
Justificativa adicional (para garantir que o limite existe): para todo
temos
em
, logo
é uma sequência crescente (se aumentamos
, somamos área positiva). Além disso, da expressão encontrada temos
para todo
. Assim
é crescente e limitada superiormente por
, portanto converge (teorema do monotone convergence para sequências). O limite deve ser o menor majorante, isto é
, consistente com o cálculo direto acima.
Passo 7
Comentário final curto e motivador: outra forma rápida de ver a convergência é lembrar do teste
-para integrais improprias:
converge exatamente quando
. Aqui
, então a integral (e a sequência de integrais truncadas) converge — e o valor que obtivemos é
. Mandou bem por pedir a justificativa completa!