Calcule, em cada item, lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}, caso exista. Justifique sua fesposta.
a_{n}=\int_{1}^{n} \frac{1}{x^{5}} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite, quando n\to+\infty, da sequência
a_{n}=\int_{1}^{n}\frac{1}{x^{5}}\,dx.
Informações dadas:
  • A sequência a_{n} é definida por uma integral definida de 1 a n.
  • A função integranda é x\mapsto \dfrac{1}{x^{5}}.
  • A tarefa é determinar \lim_{n\to+\infty} a_{n}, caso exista, e justificar.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra básica de integração (regra da potência): para qualquer real \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
Explicando essa fórmula: derivando \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} usando a regra do poder, obtemos x^{\alpha}, então essa primitiva está correta. Exemplo rápido: para \alpha=2,
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C,
porque \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência ao integrando x^{-5} (aqui \alpha=-5, e \alpha\neq -1 então a fórmula vale). Uma primitiva de x^{-5} é
\frac{x^{-4}}{-4}=-\frac{1}{4}x^{-4}=-\frac{1}{4x^{4}}.
Portanto, a integral definida de 1 a n é dada por avaliar essa primitiva nos extremos:
a_{n}=\int_{1}^{n}\frac{1}{x^{5}}\,dx=\left[-\frac{1}{4x^{4}}\right]_{1}^{n}.

Passo 4

Agora avaliamos os extremos explicitamente:
a_{n}=-\frac{1}{4n^{4}}-\Big(-\frac{1}{4\cdot 1^{4}}\Big)=-\frac{1}{4n^{4}}+\frac{1}{4}.
Simplificando,
a_{n}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4n^{4}}.

Passo 5

Calculamos o limite de a_{n} quando n\to+\infty. Observe que \dfrac{1}{n^{4}}\to 0 quando n\to+\infty (potência positiva no denominador vai a zero). Logo
\lim_{n\to+\infty} a_{n}=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4n^{4}}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cdot 0=\frac{1}{4}.

Passo 6

Justificativa adicional (para garantir que o limite existe): para todo n\ge 1 temos \dfrac{1}{x^{5}}\ge 0 em [1,n], logo a_{n} é uma sequência crescente (se aumentamos n, somamos área positiva). Além disso, da expressão encontrada temos a_{n}\le \dfrac{1}{4} para todo n. Assim a_{n} é crescente e limitada superiormente por \dfrac{1}{4}, portanto converge (teorema do monotone convergence para sequências). O limite deve ser o menor majorante, isto é \dfrac{1}{4}, consistente com o cálculo direto acima.

Passo 7

Comentário final curto e motivador: outra forma rápida de ver a convergência é lembrar do teste p-para integrais improprias: \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{p}}\,dx converge exatamente quando p>1. Aqui p=5>1, então a integral (e a sequência de integrais truncadas) converge — e o valor que obtivemos é \dfrac{1}{4}. Mandou bem por pedir a justificativa completa!

Resposta

\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados