Em
, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido anti-horário é
. Ela se move com velocidade escalar constante. Em
, sua aceleração é
. Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença
é menor que um período?
Passo 1
O enunciado dá os vetores aceleração em dois instantes e pede o raio da trajetória. Dados e pedidos que pegamos do enunciado:
- Em
: . - Em
: . - A velocidade escalar é constante (isto indica movimento circular uniforme).
- A diferença de tempo é
e foi dada a informação de que é menor que um período.
O que se pede:
- Calcular o raio
da trajetória.
Passo 2
Entendendo a física útil (aula curta e direta).
- Em movimento circular uniforme (velocidade escalar
constante), a aceleração é centrípeta, dirigida para o centro da curva, e tem magnitude
Aqui:
-
é a magnitude da aceleração centrípeta (em ), -
é a velocidade escalar (em ), -
é o raio da trajetória (em ). - Também usamos a relação entre velocidade angular
e velocidade linear:
Logo, isolando
,
- Se a partícula se move do ângulo
para em (com menor que um período), o deslocamento angular é e a velocidade angular média (aqui igual à constante) é
- Para obter
a partir das acelerações, note que os vetores de aceleração centrípeta são proporcionais e opostos aos vetores posição . Assim o ângulo entre e é exatamente . Para calcular esse ângulo usamos o produto escalar:
Passo 3
Calcular magnitudes e verificar consistência.
- Magnitude de
:
- Magnitude de
:
Observação: as magnitudes coincidem, o que confirma que a aceleração tem módulo constante — compatível com movimento circular uniforme.
Passo 4
Determinar o ângulo
entre
e
usando produto escalar.
- Produto escalar:
- Aplicando a fórmula do produto escalar:
- Portanto
Podemos notar a trigonometria: se
então
e
. Em radianos,
Passo 5
Calcular a velocidade angular
e relacioná-la com
.
- Como
e é menor que um período, a velocidade angular é
- Usando
, isolamos :
Aqui
.
Passo 6
Substituir números e calcular
passo a passo (contas que dá pra fazer na prova).
- Calcule
:
- Agora
(Outra forma de ver: usar
. Substituindo
,
e
também dá
.)
Passo 7
Interpretação final rápida e incentivo.
- O raio da trajetória é muito grande comparado aos valores numéricos das componentes da aceleração porque o ângulo percorrido em
é pequeno, logo é pequeno e fica grande. - Bom trabalho até aqui — essa técnica (usar o ângulo entre os vetores aceleração e a relação
) é a forma rápida e segura de resolver esse tipo de problema numa prova.