Em t_{1}=2,00 s, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido anti-horário é \left(6,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{i}+\left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{j}. Ela se move com velocidade escalar constante. Em t_{2}=5,00 s, sua aceleração é \left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{i}+\left(6,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{j}. Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença t_{2}-t_{1} é menor que um período?

Passo 1

O enunciado dá os vetores aceleração em dois instantes e pede o raio da trajetória. Dados e pedidos que pegamos do enunciado:
  • Em t_{1}=2{,}00\\ \mathrm{s}: \vec{a}_{1}=(6{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\hat{i}+(4{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\hat{j}.
  • Em t_{2}=5{,}00\\ \mathrm{s}: \vec{a}_{2}=(4{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\hat{i}+(6{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\hat{j}.
  • A velocidade escalar é constante (isto indica movimento circular uniforme).
  • A diferença de tempo é \Delta t=t_{2}-t_{1}=3{,}00\\ \mathrm{s} e foi dada a informação de que \Delta t é menor que um período.
O que se pede:
  • Calcular o raio R da trajetória.

Passo 2

Entendendo a física útil (aula curta e direta).
  • Em movimento circular uniforme (velocidade escalar v constante), a aceleração é centrípeta, dirigida para o centro da curva, e tem magnitude
a_{\mathrm{c}}=\frac{v^{2}}{R}.
Aqui:
  • a_{\mathrm{c}} é a magnitude da aceleração centrípeta (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • v é a velocidade escalar (em \mathrm{m/s}),
  • R é o raio da trajetória (em \mathrm{m}).
  • Também usamos a relação entre velocidade angular \omega e velocidade linear:
v=\omega R \quad\Rightarrow\quad a_{\mathrm{c}}=\omega^{2}R.
Logo, isolando R,
R=\frac{a_{\mathrm{c}}}{\omega^{2}}.
  • Se a partícula se move do ângulo \theta_{1} para \theta_{2} em \Delta t (com \Delta t menor que um período), o deslocamento angular é \Delta\theta=\theta_{2}-\theta_{1} e a velocidade angular média (aqui igual à \omega constante) é
\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}.
  • Para obter \Delta\theta a partir das acelerações, note que os vetores de aceleração centrípeta são proporcionais e opostos aos vetores posição \vec{r}. Assim o ângulo entre \vec{a}_{1} e \vec{a}_{2} é exatamente \Delta\theta. Para calcular esse ângulo usamos o produto escalar:
\vec{a}_{1}\cdot\vec{a}_{2}=|\vec{a}_{1}|\,|\vec{a}_{2}|\cos\!\left(\Delta\theta\right).

Passo 3

Calcular magnitudes e verificar consistência.
  • Magnitude de \vec{a}_{1}:
|\vec{a}_{1}|=\sqrt{6{,}00^{2}+4{,}00^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Magnitude de \vec{a}_{2}:
|\vec{a}_{2}|=\sqrt{4{,}00^{2}+6{,}00^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação: as magnitudes coincidem, o que confirma que a aceleração tem módulo constante — compatível com movimento circular uniforme.

Passo 4

Determinar o ângulo \Delta\theta entre \vec{a}_{1} e \vec{a}_{2} usando produto escalar.
  • Produto escalar:
\vec{a}_{1}\cdot\vec{a}_{2}=6{,}00\cdot4{,}00+4{,}00\cdot6{,}00=24+24=48\\ \mathrm{(m/s^{2})^{2}}.
  • Aplicando a fórmula do produto escalar:
\cos\!\left(\Delta\theta\right)=\frac{\vec{a}_{1}\cdot\vec{a}_{2}}{|\vec{a}_{1}|\,|\vec{a}_{2}|}=\frac{48}{(\sqrt{52})(\sqrt{52})}=\frac{48}{52}=\frac{12}{13}.
  • Portanto
\Delta\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{12}{13}\right).
Podemos notar a trigonometria: se \cos\Delta\theta=12/13 então \sin\Delta\theta=5/13 e \Delta\theta=\arctan\!\left(\dfrac{5}{12}\right). Em radianos,
\Delta\theta\approx0{,}3947911197\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Calcular a velocidade angular \omega e relacioná-la com R.
  • Como \Delta t=3{,}00\\ \mathrm{s} e \Delta t é menor que um período, a velocidade angular é
\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{0{,}3947911197}{3{,}00}\\ \mathrm{rad/s}\approx0{,}1315970399\\ \mathrm{rad/s}.
  • Usando a_{\mathrm{c}}=\omega^{2}R, isolamos R:
R=\frac{a_{\mathrm{c}}}{\omega^{2}}.
Aqui a_{\mathrm{c}}=|\vec{a}_{1}|=2\sqrt{13}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx7{,}21110255\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Substituir números e calcular R passo a passo (contas que dá pra fazer na prova).
  • Calcule \omega^{2}:
\omega^{2}\approx(0{,}1315970399)^{2}\approx0{,}017319\\ (\mathrm{rad^{2}/s^{2}}).
  • Agora
R=\frac{7{,}21110255}{0{,}017319}\\ \mathrm{m}\approx416{,}6\\ \mathrm{m}.
(Outra forma de ver: usar R=a\,(\Delta t)^{2}/(\Delta\theta)^{2}. Substituindo a\approx7{,}21110255, \Delta t=3{,}00 e \Delta\theta\approx0{,}3947911197 também dá R\approx416{,}6\\ \mathrm{m}.)

Passo 7

Interpretação final rápida e incentivo.
  • O raio da trajetória é muito grande comparado aos valores numéricos das componentes da aceleração porque o ângulo percorrido em 3{,}00\\ \mathrm{s} é pequeno, logo \omega é pequeno e R=a/\omega^{2} fica grande.
  • Bom trabalho até aqui — essa técnica (usar o ângulo entre os vetores aceleração e a relação a=\omega^{2}R) é a forma rápida e segura de resolver esse tipo de problema numa prova.

Resposta

R\approx416{,}6\\ \mathrm{m}

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