Uma pedra amarrada em uma corda se move no plano xy. Suas coordenadas são dadas em função do tempo por
onde R e
são constantes.
a) Mostre que a distância da pedra até a origem é constante e igual a
, ou seja, sua trajetória é uma circunferência de raio
.
b) Mostre que em cada ponto o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.
c) Mostre que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e possui módulo igual a
.
a) Mostre que a distância da pedra até a origem é constante e igual a
b) Mostre que em cada ponto o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.
c) Mostre que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e possui módulo igual a
Passo 1
O enunciado (peguei do enunciado) dá as coordenadas da pedra no plano como funções do tempo:
onde
e
são constantes. O problema pede três coisas:
(a) mostrar que a distância da pedra até a origem é constante e igual a ;
(b) mostrar que em cada ponto o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição;
(c) mostrar que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e tem módulo igual a .
(a) mostrar que a distância da pedra até a origem é constante e igual a
(b) mostrar que em cada ponto o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição;
(c) mostrar que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e tem módulo igual a
Observação sobre notação: o enunciado usa
como constante no movimento e na parte (c) aparece
. Vou assumir que
e
representam a mesma constante (velocidade angular). Para ficar mais padrão, a partir de agora escrevo
no lugar de
, ou seja, trabalho com
Passo 2
Vou mostrar (a): distância ao origin é constante e igual a
.
Definição: a distância da pedra à origem no plano (norma do vetor posição) é
Substituindo
e
dados:
Factorizando
dentro da raiz:
Identidade trigonométrica fundamental: para todo argumento
vale
. Aplicando com
obtemos
já que
(raio). Conclusão: a distância é constante e igual a
, logo a trajetória é uma circunferência de raio
.
Passo 3
Preparando para (b) e (c): escrevo o vetor posição e calculo a velocidade por derivação componente a componente.
Definição do vetor posição:
Regra que vou usar (regra da cadeia): se
então
. Aqui
será
ou
e
, com
.
Derivando componente a componente para obter a velocidade
:
derivada de é
e derivada de
é
. Então
derivada de
Passo 4
Mostrando (b): velocidade é perpendicular ao vetor posição.
Critério de perpendicularidade no plano: dois vetores
e
são perpendiculares se e somente se o produto escalar (dot product) for zero:
Calculo o produto escalar
:
Factorizando
:
O que está entre parênteses é zero, pois os termos se cancelam. Portanto
Conclusão:
é ortogonal (perpendicular) a
em todo instante
. Intuição física rápida: a velocidade é tangente à circunferência, o que é perpendicular ao raio.
Passo 5
Calculando a aceleração para (c): derivada da velocidade.
Aceleração é
. Derivando as componentes de
usando novamente a regra da cadeia:
- derivada de
é , - derivada de
é .
Assim
Passo 6
Relacionando aceleração com vetor posição e calculando o módulo (continuação de (c)).
Observe que
pode ser escrito em termos de
. Como
, temos
Isso mostra duas coisas imediatamente:
- Direção:
é paralelo a (pois é um múltiplo escalar), e o fator escalar é negativo, então é oposto a (aponta para o centro). - Módulo: tomando normas em ambos os lados,
Pelo Passo 2
, logo
Interpretação física: essa aceleração centrípeta aponta para o centro da circunferência (oposta ao raio) e tem módulo
.
Passo 7
Resumo final didático rápido (como aplicar isso numa prova):
- Para mostrar que a trajetória é circunferência, calcule
e use . - Para mostrar ortogonalidade posição-velocidade, escreva
e e calcule o produto escalar; se for zero são perpendiculares. - Para a aceleração, derive a velocidade (atenção à regra da cadeia) e compare
com ; verifique se existe um múltiplo escalar simples (aqui ).
Força aí — com esses passos é só seguir as derivações na prova que dá certo.
Resposta
(a)
para todo
.
(b) , logo
é perpendicular a
.
(c) e
.
(b)
(c)