Uma pedra amarrada em uma corda se move no plano xy. Suas coordenadas são dadas em função do tempo por x(t)=R \cos \theta t, y(t)=R \operatorname{sen} \theta t onde R e \theta são constantes.
a) Mostre que a distância da pedra até a origem é constante e igual a R, ou seja, sua trajetória é uma circunferência de raio R.
b) Mostre que em cada ponto o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.
c) Mostre que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e possui módulo igual a \omega^{2} R.

Passo 1

O enunciado (peguei do enunciado) dá as coordenadas da pedra no plano como funções do tempo:
x(t)=R\cos(\theta t),\qquad y(t)=R\operatorname{sen}(\theta t),
onde R e \theta são constantes. O problema pede três coisas:
(a) mostrar que a distância da pedra até a origem é constante e igual a R;
(b) mostrar que em cada ponto o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição;
(c) mostrar que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e tem módulo igual a \omega^{2}R.
Observação sobre notação: o enunciado usa \theta como constante no movimento e na parte (c) aparece \omega. Vou assumir que \theta e \omega representam a mesma constante (velocidade angular). Para ficar mais padrão, a partir de agora escrevo \omega no lugar de \theta, ou seja, trabalho com
x(t)=R\cos(\omega t),\qquad y(t)=R\sin(\omega t).

Passo 2

Vou mostrar (a): distância ao origin é constante e igual a R.
Definição: a distância da pedra à origem no plano (norma do vetor posição) é
\| \mathbf{r}(t)\|=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}.
Substituindo x(t) e y(t) dados:
\| \mathbf{r}(t)\|=\sqrt{ \bigl(R\cos(\omega t)\bigr)^2 + \bigl(R\sin(\omega t)\bigr)^2 }.
Factorizando R^2 dentro da raiz:
\| \mathbf{r}(t)\|=\sqrt{R^2\bigl(\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t)\bigr)}.
Identidade trigonométrica fundamental: para todo argumento \alpha vale \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. Aplicando com \alpha=\omega t obtemos
\| \mathbf{r}(t)\|=\sqrt{R^2\cdot 1}=\sqrt{R^2}=R,
já que R\ge 0 (raio). Conclusão: a distância é constante e igual a R, logo a trajetória é uma circunferência de raio R.

Passo 3

Preparando para (b) e (c): escrevo o vetor posição e calculo a velocidade por derivação componente a componente.
Definição do vetor posição:
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t)\bigr)=\bigl(R\cos(\omega t),\,R\sin(\omega t)\bigr).
Regra que vou usar (regra da cadeia): se f(t)=g(h(t)) então f'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t). Aqui g será \cos ou \sin e h(t)=\omega t, com h'(t)=\omega.
Derivando componente a componente para obter a velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t):
derivada de \cos(\omega t) é -\sin(\omega t)\cdot\omega e derivada de \sin(\omega t) é \cos(\omega t)\cdot\omega. Então
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\bigl(-R\omega\sin(\omega t),\;R\omega\cos(\omega t)\bigr).

Passo 4

Mostrando (b): velocidade é perpendicular ao vetor posição.
Critério de perpendicularidade no plano: dois vetores \mathbf{a}=(a_x,a_y) e \mathbf{b}=(b_x,b_y) são perpendiculares se e somente se o produto escalar (dot product) for zero:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y = 0.
Calculo o produto escalar \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{v}(t):
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{v}(t)=\bigl(R\cos(\omega t)\bigr)\bigl(-R\omega\sin(\omega t)\bigr)+\bigl(R\sin(\omega t)\bigr)\bigl(R\omega\cos(\omega t)\bigr).
Factorizando R^2\omega:
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{v}(t)=R^2\omega\bigl(-\cos(\omega t)\sin(\omega t)+\sin(\omega t)\cos(\omega t)\bigr).
O que está entre parênteses é zero, pois os termos se cancelam. Portanto
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{v}(t)=0.
Conclusão: \mathbf{v}(t) é ortogonal (perpendicular) a \mathbf{r}(t) em todo instante t. Intuição física rápida: a velocidade é tangente à circunferência, o que é perpendicular ao raio.

Passo 5

Calculando a aceleração para (c): derivada da velocidade.
Aceleração é \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t). Derivando as componentes de \mathbf{v}(t)=(-R\omega\sin(\omega t),\,R\omega\cos(\omega t)) usando novamente a regra da cadeia:
  • derivada de -R\omega\sin(\omega t) é -R\omega\cos(\omega t)\cdot\omega = -R\omega^2\cos(\omega t),
  • derivada de R\omega\cos(\omega t) é R\omega(-\sin(\omega t))\cdot\omega = -R\omega^2\sin(\omega t).
Assim
\mathbf{a}(t)=\bigl(-R\omega^2\cos(\omega t),\;-R\omega^2\sin(\omega t)\bigr).

Passo 6

Relacionando aceleração com vetor posição e calculando o módulo (continuação de (c)).
Observe que \mathbf{a}(t) pode ser escrito em termos de \mathbf{r}(t). Como \mathbf{r}(t)=\bigl(R\cos(\omega t),\,R\sin(\omega t)\bigr), temos
\mathbf{a}(t) = -\omega^2 \bigl(R\cos(\omega t),\,R\sin(\omega t)\bigr) = -\omega^2\,\mathbf{r}(t).
Isso mostra duas coisas imediatamente:
  • Direção: \mathbf{a}(t) é paralelo a \mathbf{r}(t) (pois é um múltiplo escalar), e o fator escalar é negativo, então \mathbf{a}(t) é oposto a \mathbf{r}(t) (aponta para o centro).
  • Módulo: tomando normas em ambos os lados,
\|\mathbf{a}(t)\| = \omega^2 \|\mathbf{r}(t)\|.
Pelo Passo 2 \|\mathbf{r}(t)\|=R, logo
\|\mathbf{a}(t)\|=\omega^2 R.
Interpretação física: essa aceleração centrípeta aponta para o centro da circunferência (oposta ao raio) e tem módulo \omega^2 R.

Passo 7

Resumo final didático rápido (como aplicar isso numa prova):
  • Para mostrar que a trajetória é circunferência, calcule \sqrt{x^2+y^2} e use \cos^2+\sin^2=1.
  • Para mostrar ortogonalidade posição-velocidade, escreva \mathbf{r} e \mathbf{v}=\mathbf{r}' e calcule o produto escalar; se for zero são perpendiculares.
  • Para a aceleração, derive a velocidade (atenção à regra da cadeia) e compare \mathbf{r}'' com \mathbf{r}; verifique se existe um múltiplo escalar simples (aqui -\omega^2).
Força aí — com esses passos é só seguir as derivações na prova que dá certo.

Resposta

(a) \| \mathbf{r}(t)\|=R para todo t.
(b) \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{v}(t)=0, logo \mathbf{v}(t) é perpendicular a \mathbf{r}(t).
(c) \mathbf{a}(t)=-\omega^2\mathbf{r}(t) e \|\mathbf{a}(t)\|=\omega^2 R.

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