(2,00) Um certo composto gasoso trimolecular se decompõe parcialmente (\alpha=0,3) a 1000 K e 1,00 bar. Sabendo que \Delta_{R} H^{0}=+50 \frac{\mathrm{~kJ}}{\mathrm{~mol}} no intervalo de temperatura considerado, calcule a constante de equilibrio K em (a) 1000 K e (b) a 2000 K . (c) Para esta reação, espera-se um aumento ou diminuição da constante de equilibrio em função do aumento da temperatura? 0 que determina um aumento ou diminuição de K em função da variação de temperatura? Explique detalhadamente.

Passo 1

O enunciado trata da decomposição parcial de um composto gasoso “trimolecular” (vamos chamar de A_{3}) segundo a reação hipotética
\mathrm{A_{3}(g)} \rightleftharpoons 3\,\mathrm{A(g)}
à temperatura de 1000 K e pressão total de 1,00 bar, com grau de dissociação \alpha=0,30.
Conteúdo: equilíbrio gasoso (constante K_p em função de \alpha e de P) e variação de K com temperatura (equação de van’t Hoff).

Passo 2

Determine a composição em mols e as frações molares no equilíbrio. Se iniciamos com 1 mol de A_{3} e um grau de dissociação \alpha, temos no equilíbrio:
– mols de A_{3}: 1-\alpha
– mols de A: 3\,\alpha
Total de mols no equilíbrio:
n_{\rm tot} = (1-\alpha)+3\,\alpha = 1+2\,\alpha.
Como a pressão total é mantida em P, as pressões parciais são
P_{\mathrm{A_{3}}} = \frac{1-\alpha}{1+2\alpha}\,P, \quad P_{\mathrm{A}} = \frac{3\alpha}{1+2\alpha}\,P.

Passo 3

Escreva a expressão de K_p para a reação
\mathrm{A_{3}(g)} \rightleftharpoons 3\,\mathrm{A(g)}.
Temos
K_p = \frac{(P_{\mathrm{A}})^3}{P_{\mathrm{A_{3}}}} = \frac{\bigl(\tfrac{3\alpha}{1+2\alpha}P\bigr)^3}{\tfrac{1-\alpha}{1+2\alpha}P} = \frac{27\,\alpha^3\,P^3}{(1+2\alpha)^3}\,\frac{1+2\alpha}{(1-\alpha)\,P} = \frac{27\,\alpha^3\,P^2}{(1-\alpha)\,(1+2\alpha)^2}.

Passo 4

Calcule K_p em 1000 K usando \alpha=0,30 e P=1{,}00 bar:
1+2\alpha = 1+2\cdot0,30 =1{,}60, \quad 1-\alpha =0{,}70,
K_p(1000\,\mathrm{K}) = \frac{27\,(0,30)^3\,(1{,}00)^2}{0,70\,(1,60)^2} = \frac{27\cdot0,027}{0,70\cdot2,56} = \frac{0,729}{1,792} \approx0{,}407\;\text{bar}^2.

Passo 5

Use a equação de van’t Hoff para passar de 1000 K a 2000 K, assumindo \Delta_{r}H^0=+50\;\mathrm{kJ/mol} constante:
\ln\frac{K(2000)}{K(1000)} = \frac{\Delta_{r}H^0}{R}\Bigl(\frac1{1000}-\frac1{2000}\Bigr) = \frac{50\,000}{8{,}314}\,(0{,}001-0{,}0005) \approx6013{,}3\times0{,}0005 =3{,}0067,
K(2000) = K(1000)\,\exp(3{,}0067) \approx0{,}407\times20{,}21 \approx8{,}23\;\text{bar}^2.

Passo 6

Como \Delta_{r}H^0>0 (reação endotérmica), a equação de van’t Hoff mostra que \dfrac{d\ln K}{dT}=\dfrac{\Delta_{r}H^0}{RT^2}>0. Logo, K aumenta quando a temperatura aumenta. Em geral, reações endotérmicas veem sua constante de equilíbrio crescer com T, enquanto reações exotérmicas ( \Delta_{r}H^0<0) têm K decrescente com T.

Resposta

(a) K_p(1000\,\mathrm{K})\approx0,407\;\mathrm{bar}^2
(b) K_p(2000\,\mathrm{K})\approx8,23\;\mathrm{bar}^2
(c) A constante de equilíbrio aumenta com o aumento da temperatura porque a reação é endotérmica ( \Delta_{r}H^0>0); o sinal e o valor de \Delta_{r}H^0 determinam o comportamento de K em função de T.

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