1-
A equação referente ao Teorema do Transporte de Reynolds é apresentada abaixo,
Responda as seguintes questões de forma clara: (a)
O que significam
e
na equação acima se estivermos tratando do princípio da conservação de quantidade de movimento? (b)
O que o termo na primeira integral do lado direito da equação significa fisicamente?
(c)
o que o termo na segunda integral do lado direito da equação significa fisicamente?
(d)
Para o caso do princípio da conservação de massa, qual desses três termos é obrigatoriamente igual a zero? Justifique sua resposta. Respostas sem justificativa não serão corrigidas. (e)
Para o caso do princípio da conservação de quantidade de movimento, o que representa o termo do lado esquerdo da equação?
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede respostas às letras (a) a (e) sobre a forma do Teorema do Transporte de Reynolds aplicada ao princípio da conservação de quantidade de movimento. Devemos identificar o que representam
e
no caso do momento linear, interpretar fisicamente os dois termos integrados no lado direito da equação, dizer qual dos três termos (lado esquerdo e os dois do lado direito) é obrigatoriamente igual a zero no caso da conservação de massa e justificar, e finalmente explicar o que representa o termo do lado esquerdo no caso da conservação de quantidade de movimento. Informação implícita: a equação usada é a forma usual do Teorema do Transporte de Reynolds para um sistema material
onde
é o volume material (movendo-se com velocidade
),
é sua superfície, e
é o vetor normal unitário saindo da superfície. A resolução das perguntas começa no Passo 2.
Passo 2
Vou apresentar com calma o significado matemático da equação e cada símbolo, porque isso vai facilitar as interpretações pedidos nas letras.
-
é o domínio volumétrico que acompanha as mesmas partículas do fluido (um sistema material); em palavras: o “corpo” que se move com o fluido. -
é a densidade volumétrica da propriedade que estamos considerando. “Densidade volumétrica” quer dizer “quantidade por unidade de volume” no ponto no instante . Exemplos: para massa, (densidade de massa); para momento linear, (densidade de momento por unidade de volume; note que aqui é um vetor). - A integral
é a quantidade total contida no sistema material . Em notação:
- O termo do lado esquerdo,
, é a taxa temporal total da quantidade do sistema material (derivada material do total). - O primeiro termo do lado direito,
, é a taxa local de variação por unidade de volume — ou seja, como muda no tempo em cada ponto, mantendo-se as mesmas posições espaciais (derivada parcial em ). - O segundo termo do lado direito,
, é a contribuição advectiva (convecção): representa o fluxo da propriedade que atravessa a superfície do sistema por efeito do movimento relativo (a componente normal da velocidade dá a velocidade com que fluido sai/entra pela superfície).
Agora que os símbolos e a forma estão explicados, passo a responder cada item específico pedindo interpretações físicas.
Passo 3
O enunciado pergunta: “O que significam
e
na equação acima se estivermos tratando do princípio da conservação de quantidade de movimento?”
Resposta explicada passo a passo:
- A quantidade total
é o momento linear total do sistema material. Em notação:
onde
é a densidade de massa e
a velocidade.
- A densidade volumétrica
é, portanto, a densidade de momento por unidade de volume. Ou seja,
Observações didáticas: note que
é um vetor (tem a direção da velocidade). Para recordar: massa total é
, momento total é massa vezes velocidade por ponto integrado, ou seja
.
Passo 4
O enunciado pergunta: “O que o termo na primeira integral do lado direito da equação significa fisicamente?”
O termo é
Explicação didática e física:
-
é a variação local temporal da densidade de propriedade em um ponto fixo do espaço. Para o caso do momento, mede como a quantidade de momento por unidade de volume muda com o tempo naquele ponto, independentemente de transporte de uma região para outra. - A integral sobre
soma essa taxa local em todo o volume do sistema material; portanto, esse termo representa a taxa de acréscimo (ou decréscimo) do momento dentro do volume causada por mudanças locais no campo de velocidade e/ou na densidade, sem contar o que entra ou sai pela superfície. - Em linguagem simples: é a “variação interna no tempo” do momento dentro do corpo — por exemplo, se, num ponto, a velocidade aumenta no tempo, isso contribui positivamente para
e, integrando, aumenta o total de momento por esse mecanismo interno.
Exemplo rápido para fixar: se em todo o volume a velocidade aumenta uniformemente com o tempo, esse termo será positivo e dará a maior parte da taxa total de mudança de momento (mesmo que nada saia pela superfície).
Passo 5
O enunciado pergunta: “O que o termo na segunda integral do lado direito da equação significa fisicamente?”
O termo é
Explicação didática e física:
-
é a componente normal da velocidade na superfície; se for positivo nessa convenção, indica saída do fluido pelo contorno; se negativo, entrada. -
é, ponto a ponto da superfície, a taxa com que a propriedade está sendo transportada através da superfície por advecção (por transporte do fluido). - A integral superficial soma esse fluxo sobre toda a superfície; portanto, esse termo representa o ganho ou perda neto da propriedade
devido ao transporte através da superfície do sistema (entradas e saídas). - Para o caso do momento (
): esse termo é o momento que entra ou sai carregado pelas correntes que atravessam a superfície — ou seja, a contribuição convectiva ao balanço de momento.
Observação prática: se o volume considerado for um volume material que acompanha as partículas do fluido, então
é a velocidade de superfície igual à velocidade do fluido localmente, e a superfície não deixa passar massa através dela (é material). Nesse caso, para um sistema material a integral superficial aparece matematicamente na forma geral do teorema, mas fisicamente o fluxo líquido de massa através da superfície do sistema material é zero — cuidado: isso nos leva à questão (d).
Passo 6
Pergunta: “Para o caso do princípio da conservação de massa, qual desses três termos é obrigatoriamente igual a zero? Justifique.”
Primeiro identifique os três termos:
- Lado esquerdo:
. - Primeiro termo do lado direito:
. - Segundo termo do lado direito:
.
No caso da conservação de massa tomamos
e
sendo o sistema material (o conjunto de mesmas partículas). Por definição clássica de sistema material (fechado quanto à massa) a massa total do sistema não muda com o tempo. Portanto a quantidade obrigatoriamente igual a zero é o termo do lado esquerdo:
Justificativa detalhada (passo a passo):
- A massa total do sistema material é conservada (princípio da conservação da massa na mecânica clássica), ou seja, se acompanhamos as mesmas partículas, não há criação nem destruição de massa dentro do sistema. Logo a taxa temporal total da massa do sistema é nula.
- Aplicando o Teorema do Transporte de Reynolds com
obtemos
- Usando o teorema da divergência numa forma equivalente, isso conduz localmente à equação da continuidade:
que é a expressão diferencial da conservação de massa (mas a conclusão de que algo é obrigatoriamente zero refere-se à taxa total da massa do sistema, ou seja à derivada material do total: o lado esquerdo).
Comentário final: portanto, o termo que é obrigatoriamente igual a zero é (o lado esquerdo), porque estamos tratando de um sistema material com massa conservada.
Comentário final: portanto, o termo que é obrigatoriamente igual a zero é
Passo 7
Pergunta: “Para o caso do princípio da conservação de quantidade de movimento, o que representa o termo do lado esquerdo da equação?”
O termo do lado esquerdo é
Explicação didática:
- Esse termo é a taxa temporal total (derivada material) do momento linear total do sistema material: ou seja, quanto o momento total do conjunto de partículas muda por unidade de tempo.
- Pela segunda lei de Newton para sistemas (princípio fundamental da dinâmica em forma integral), essa taxa de variação do momento iguala a soma das forças externas resultantes aplicadas ao sistema. Em fórmulas:
onde
inclui forças de corpo (por exemplo gravidade,
) e forças de superfície (por exemplo tensões de pressão e viscosas na superfície).
- Em linguagem simples: o termo do lado esquerdo é a “taxa de variação do momento do corpo”, isto é, a quantidade que, por unidade de tempo, está acelerando o corpo inteiro — e essa variação é causada pelas forças externas (resultante). Portanto, na prática, esse termo é o que deve ser igualado ao somatório das forças externas para escrever o balanço de momento do sistema.
Exemplo intuitivo: se esse termo é grande e positivo numa direção, significa que o momento total do sistema está aumentando nessa direção — ou seja, há uma resultante de forças nessa direção acelerando o sistema.
Resposta
(a)
é o momento linear total;
é a densidade de momento por unidade de volume.
(b) representa a taxa de variação local no tempo da densidade de momento dentro do volume — ou seja, a acumulação (ou depleção) de momento devido a mudanças locais nos campos
e
.
(c) representa o fluxo convectivo de momento através da superfície — isto é, o momento que entra ou sai carregado pelo movimento do fluido através do contorno.
(d) (o termo do lado esquerdo). Justificativa: para um sistema material a massa total não muda com o tempo; aplicando o RTT com
obtemos
, que localmente dá a equação de continuidade
.
(e) é a taxa de variação do momento linear total do sistema (derivada temporal do momento total); pela segunda lei de Newton isso corresponde à resultante das forças externas agindo sobre o sistema.
(b)
(c)
(d)
(e)