1- (3,00) A equação referente ao Teorema do Transporte de Reynolds é apresentada abaixo,
Responda as seguintes questões de forma clara: (a) (0,60) O que significam B e b na equação acima se estivermos tratando do princípio da conservação de quantidade de movimento? (b) (0,60) O que o termo na primeira integral do lado direito da equação significa fisicamente?
(c) (0,60) o que o termo na segunda integral do lado direito da equação significa fisicamente?
(d) (0,60) Para o caso do princípio da conservação de massa, qual desses três termos é obrigatoriamente igual a zero? Justifique sua resposta. Respostas sem justificativa não serão corrigidas. (e) (0,60) Para o caso do princípio da conservação de quantidade de movimento, o que representa o termo do lado esquerdo da equação?

Passo 1

O enunciado pede respostas às letras (a) a (e) sobre a forma do Teorema do Transporte de Reynolds aplicada ao princípio da conservação de quantidade de movimento. Devemos identificar o que representam B e b no caso do momento linear, interpretar fisicamente os dois termos integrados no lado direito da equação, dizer qual dos três termos (lado esquerdo e os dois do lado direito) é obrigatoriamente igual a zero no caso da conservação de massa e justificar, e finalmente explicar o que representa o termo do lado esquerdo no caso da conservação de quantidade de movimento. Informação implícita: a equação usada é a forma usual do Teorema do Transporte de Reynolds para um sistema material B(t)
\frac{d}{dt}\int_{B(t)} b\,dV \;=\; \int_{B(t)} \frac{\partial b}{\partial t}\,dV \;+\; \oint_{\partial B(t)} b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dS,
onde B(t) é o volume material (movendo-se com velocidade \mathbf{v}), \partial B(t) é sua superfície, e \mathbf{n} é o vetor normal unitário saindo da superfície. A resolução das perguntas começa no Passo 2.

Passo 2

Vou apresentar com calma o significado matemático da equação e cada símbolo, porque isso vai facilitar as interpretações pedidos nas letras.
  • \displaystyle B(t) é o domínio volumétrico que acompanha as mesmas partículas do fluido (um sistema material); em palavras: o “corpo” que se move com o fluido.
  • \displaystyle b(\mathbf{x},t) é a densidade volumétrica da propriedade que estamos considerando. “Densidade volumétrica” quer dizer “quantidade por unidade de volume” no ponto \mathbf{x} no instante t. Exemplos: para massa, b=\rho (densidade de massa); para momento linear, b=\rho\mathbf{v} (densidade de momento por unidade de volume; note que aqui b é um vetor).
  • A integral \displaystyle \int_{B(t)} b\,dV é a quantidade total B contida no sistema material B(t). Em notação:
B(t)=\int_{B(t)} b(\mathbf{x},t)\,dV.
  • O termo do lado esquerdo, \displaystyle \frac{d}{dt}\int_{B(t)} b\,dV, é a taxa temporal total da quantidade B do sistema material (derivada material do total).
  • O primeiro termo do lado direito, \displaystyle \int_{B(t)} \frac{\partial b}{\partial t}\,dV, é a taxa local de variação por unidade de volume — ou seja, como b muda no tempo em cada ponto, mantendo-se as mesmas posições espaciais (derivada parcial em t).
  • O segundo termo do lado direito, \displaystyle \oint_{\partial B(t)} b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dS, é a contribuição advectiva (convecção): representa o fluxo da propriedade b que atravessa a superfície do sistema por efeito do movimento relativo (a componente normal da velocidade \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} dá a velocidade com que fluido sai/entra pela superfície).
Agora que os símbolos e a forma estão explicados, passo a responder cada item específico pedindo interpretações físicas.

Passo 3

O enunciado pergunta: “O que significam B e b na equação acima se estivermos tratando do princípio da conservação de quantidade de movimento?”
Resposta explicada passo a passo:
  • A quantidade total B é o momento linear total do sistema material. Em notação:
B(t)=\int_{B(t)} \rho(\mathbf{x},t)\,\mathbf{v}(\mathbf{x},t)\,dV,
onde \rho é a densidade de massa e \mathbf{v} a velocidade.
  • A densidade volumétrica b é, portanto, a densidade de momento por unidade de volume. Ou seja,
b(\mathbf{x},t)=\rho(\mathbf{x},t)\,\mathbf{v}(\mathbf{x},t).
Observações didáticas: note que b é um vetor (tem a direção da velocidade). Para recordar: massa total é \int \rho\,dV, momento total é massa vezes velocidade por ponto integrado, ou seja \int \rho\mathbf{v}\,dV.

Passo 4

O enunciado pergunta: “O que o termo na primeira integral do lado direito da equação significa fisicamente?”
O termo é
\int_{B(t)} \frac{\partial b}{\partial t}\,dV.
Explicação didática e física:
  • \frac{\partial b}{\partial t} é a variação local temporal da densidade de propriedade b em um ponto fixo do espaço. Para o caso do momento, \frac{\partial (\rho\mathbf{v})}{\partial t} mede como a quantidade de momento por unidade de volume muda com o tempo naquele ponto, independentemente de transporte de uma região para outra.
  • A integral sobre B(t) soma essa taxa local em todo o volume do sistema material; portanto, esse termo representa a taxa de acréscimo (ou decréscimo) do momento dentro do volume causada por mudanças locais no campo de velocidade e/ou na densidade, sem contar o que entra ou sai pela superfície.
  • Em linguagem simples: é a “variação interna no tempo” do momento dentro do corpo — por exemplo, se, num ponto, a velocidade aumenta no tempo, isso contribui positivamente para \partial(\rho\mathbf{v})/\partial t e, integrando, aumenta o total de momento por esse mecanismo interno.
Exemplo rápido para fixar: se em todo o volume a velocidade aumenta uniformemente com o tempo, esse termo será positivo e dará a maior parte da taxa total de mudança de momento (mesmo que nada saia pela superfície).

Passo 5

O enunciado pergunta: “O que o termo na segunda integral do lado direito da equação significa fisicamente?”
O termo é
\oint_{\partial B(t)} b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dS.
Explicação didática e física:
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é a componente normal da velocidade na superfície; se for positivo nessa convenção, indica saída do fluido pelo contorno; se negativo, entrada.
  • b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) é, ponto a ponto da superfície, a taxa com que a propriedade b está sendo transportada através da superfície por advecção (por transporte do fluido).
  • A integral superficial soma esse fluxo sobre toda a superfície; portanto, esse termo representa o ganho ou perda neto da propriedade B devido ao transporte através da superfície do sistema (entradas e saídas).
  • Para o caso do momento ( b=\rho\mathbf{v}): esse termo é o momento que entra ou sai carregado pelas correntes que atravessam a superfície — ou seja, a contribuição convectiva ao balanço de momento.
Observação prática: se o volume considerado for um volume material que acompanha as partículas do fluido, então \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é a velocidade de superfície igual à velocidade do fluido localmente, e a superfície não deixa passar massa através dela (é material). Nesse caso, para um sistema material a integral superficial aparece matematicamente na forma geral do teorema, mas fisicamente o fluxo líquido de massa através da superfície do sistema material é zero — cuidado: isso nos leva à questão (d).

Passo 6

Pergunta: “Para o caso do princípio da conservação de massa, qual desses três termos é obrigatoriamente igual a zero? Justifique.”
Primeiro identifique os três termos:
  1. Lado esquerdo: \displaystyle \frac{d}{dt}\int_{B(t)} b\,dV.
  2. Primeiro termo do lado direito: \displaystyle \int_{B(t)} \frac{\partial b}{\partial t}\,dV.
  3. Segundo termo do lado direito: \displaystyle \oint_{\partial B(t)} b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dS.
No caso da conservação de massa tomamos b=\rho e B(t) sendo o sistema material (o conjunto de mesmas partículas). Por definição clássica de sistema material (fechado quanto à massa) a massa total do sistema não muda com o tempo. Portanto a quantidade obrigatoriamente igual a zero é o termo do lado esquerdo:
\frac{d}{dt}\int_{B(t)} \rho\,dV \;=\; 0.
Justificativa detalhada (passo a passo):
  • A massa total do sistema material é conservada (princípio da conservação da massa na mecânica clássica), ou seja, se acompanhamos as mesmas partículas, não há criação nem destruição de massa dentro do sistema. Logo a taxa temporal total da massa do sistema é nula.
  • Aplicando o Teorema do Transporte de Reynolds com b=\rho obtemos
0 \;=\; \int_{B(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV \;+\; \oint_{\partial B(t)} \rho\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dS.
  • Usando o teorema da divergência numa forma equivalente, isso conduz localmente à equação da continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0,
que é a expressão diferencial da conservação de massa (mas a conclusão de que algo é obrigatoriamente zero refere-se à taxa total da massa do sistema, ou seja à derivada material do total: o lado esquerdo).
Comentário final: portanto, o termo que é obrigatoriamente igual a zero é \displaystyle \frac{d}{dt}\int_{B(t)} \rho\,dV (o lado esquerdo), porque estamos tratando de um sistema material com massa conservada.

Passo 7

Pergunta: “Para o caso do princípio da conservação de quantidade de movimento, o que representa o termo do lado esquerdo da equação?”
O termo do lado esquerdo é
\frac{d}{dt}\int_{B(t)} \rho\mathbf{v}\,dV.
Explicação didática:
  • Esse termo é a taxa temporal total (derivada material) do momento linear total do sistema material: ou seja, quanto o momento total do conjunto de partículas muda por unidade de tempo.
  • Pela segunda lei de Newton para sistemas (princípio fundamental da dinâmica em forma integral), essa taxa de variação do momento iguala a soma das forças externas resultantes aplicadas ao sistema. Em fórmulas:
\frac{d}{dt}\int_{B(t)} \rho\mathbf{v}\,dV \;=\; \mathbf{F}_{\text{externas}},
onde \mathbf{F}_{\text{externas}} inclui forças de corpo (por exemplo gravidade, \int_{B(t)} \rho\mathbf{g}\,dV) e forças de superfície (por exemplo tensões de pressão e viscosas na superfície).
  • Em linguagem simples: o termo do lado esquerdo é a “taxa de variação do momento do corpo”, isto é, a quantidade que, por unidade de tempo, está acelerando o corpo inteiro — e essa variação é causada pelas forças externas (resultante). Portanto, na prática, esse termo é o que deve ser igualado ao somatório das forças externas para escrever o balanço de momento do sistema.
Exemplo intuitivo: se esse termo é grande e positivo numa direção, significa que o momento total do sistema está aumentando nessa direção — ou seja, há uma resultante de forças nessa direção acelerando o sistema.

Resposta

(a) B(t)=\displaystyle \int_{B(t)} \rho\mathbf{v}\,dV é o momento linear total; b(\mathbf{x},t)=\rho(\mathbf{x},t)\mathbf{v}(\mathbf{x},t) é a densidade de momento por unidade de volume.
(b) \displaystyle \int_{B(t)} \frac{\partial b}{\partial t}\,dV representa a taxa de variação local no tempo da densidade de momento dentro do volume — ou seja, a acumulação (ou depleção) de momento devido a mudanças locais nos campos \rho e \mathbf{v}.
(c) \displaystyle \oint_{\partial B(t)} b\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dS representa o fluxo convectivo de momento através da superfície — isto é, o momento que entra ou sai carregado pelo movimento do fluido através do contorno.
(d) \displaystyle \frac{d}{dt}\int_{B(t)} \rho\,dV=0 (o termo do lado esquerdo). Justificativa: para um sistema material a massa total não muda com o tempo; aplicando o RTT com b=\rho obtemos 0=\int_{B(t)}\partial\rho/\partial t\,dV+\oint_{\partial B(t)}\rho(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dS, que localmente dá a equação de continuidade \partial\rho/\partial t+\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0.
(e) \displaystyle \frac{d}{dt}\int_{B(t)} \rho\mathbf{v}\,dV é a taxa de variação do momento linear total do sistema (derivada temporal do momento total); pela segunda lei de Newton isso corresponde à resultante das forças externas agindo sobre o sistema.

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