2- No fundo de um reservatório prismático de 4 \mathrm{~m}^{2} de área existe um orifício para a descarga, que fornece uma vazão variável com a altura no reservatório segundo a equação , sendo Q (m3/s) e h(m), onde h é a altura d’água no reservatório em um tempo qualquer. Se no instate inicial ( \mathrm{t}=0 ) a altura d’água no reservatório é igual a 2 m , determine em quantos minutos o reservatório será esvaziado (2,0)

Passo 1

O enunciado pede para determinar em quantos minutos o reservatório será esvaziado quando, no instante inicial t=0, a altura da água é h(0)=2\\ \mathrm{m}. As informações que temos explicitamente são:
  • área da base do reservatório: A=4\\ \mathrm{m}^2;
  • altura inicial: h(0)=2\\ \mathrm{m};
  • a vazão de saída é uma função da altura, escrita Q(h) (unidade \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
Informação crucial que falta: a expressão matemática de Q(h). O enunciado que você enviou menciona “segundo a equação” mas essa equação não foi incluída. Sem essa expressão específica para Q(h) não é possível calcular um valor numérico do tempo de esvaziamento — só podemos obter uma fórmula geral em termos de Q(h).

Passo 2

Vamos montar o modelo físico-matemático e explicar cada coisa, passo a passo, para saber o que fazer assim que tivermos Q(h).
  1. Volume de água no reservatório: como o reservatório é prismático (seção constante), o volume é simplesmente a área da base vezes a altura da água. Escrevemos isso como
V(t)=A\,h(t).
Aqui V(t) é o volume em \mathrm{m}^3 no tempo t, A é a área da base em \mathrm{m}^2 e h(t) é a altura em \mathrm{m}.
  1. Relação entre variação do volume e vazão: a vazão Q(h) (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) é a taxa com que o volume sai do reservatório. Tomando o sentido positivo de Q como o volume que sai, a equação de balanço de massa é
\frac{dV}{dt} = -Q(h).
O sinal negativo aparece porque V diminui quando há descarga.
  1. Substituindo V=Ah na equação acima:
A\frac{dh}{dt} = -Q(h).
Aqui detalhei cada variável: A é conhecida ( A=4), h(t) é a incógnita função do tempo, e Q(h) é a função dada pela física do orifício (faltante no enunciado).

Passo 3

Agora resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis (método básico e direto). Começamos de
A\frac{dh}{dt} = -Q(h).
Isolando dt e separando:
\frac{dh}{Q(h)} = -\frac{1}{A}\,dt.
Integramos ambos os lados com os limites adequados: a altura varia de h(0)=2 até h(T)=0 no tempo t de 0 até T (tempo total de esvaziamento). Assim
\int_{h=2}^{h=0} \frac{dh}{Q(h)} = -\frac{1}{A} \int_{t=0}^{t=T} dt.
Calculando o lado direito:
\int_{2}^{0} \frac{dh}{Q(h)} = -\frac{T}{A}.
Mudando o sinal e invertendo os limites no lado esquerdo:
\int_{0}^{2} \frac{dh}{Q(h)} = \frac{T}{A}.
Portanto obtemos a expressão geral para o tempo de esvaziamento T (em segundos, se Q estiver em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}):
T = A \int_{0}^{2} \frac{dh}{Q(h)}.

Passo 4

Substituíndo A=4\\ \mathrm{m}^2 obtemos a forma prática:
T \;=\; 4 \int_{0}^{2} \frac{dh}{Q(h)} \quad\text{(tempo em segundos).}
Se quisermos o resultado em minutos, dividimos por 60:
T_{\text{min}} \;=\; \frac{4}{60}\int_{0}^{2} \frac{dh}{Q(h)} \;=\; \frac{1}{15}\int_{0}^{2} \frac{dh}{Q(h)} \quad\text{(tempo em minutos).}
Observação sobre unidades: essa expressão tem sentido porque dh tem unidade \mathrm{m} e Q(h) tem unidade \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, então a razão dh/Q(h) tem unidade \mathrm{s}/\mathrm{m}^2; multiplicando por A (em \mathrm{m}^2) obtemos segundos.

Passo 5

Como o enunciado não fornece a expressão de Q(h), não posso calcular um número. Mas para te ensinar na prática, mostro dois exemplos comuns e como proceder na prova:
Exemplo 1 (lei de Torricelli típica): muitas vezes a vazão por um orifício depende como Q(h)=k\sqrt{h}, onde k é uma constante que incorpora a área do orifício e \sqrt{2g}. Neste caso
T = A \int_{0}^{2} \frac{dh}{k\sqrt{h}} = \frac{A}{k}\int_{0}^{2} h^{-1/2}\,dh.
Integrando \int h^{-1/2}dh = 2\sqrt{h}, obtemos
T = \frac{A}{k}\left[2\sqrt{h}\right]_{0}^{2} = \frac{2A\sqrt{2}}{k}.
Com A=4 isso vira
T = \frac{8\sqrt{2}}{k}\\ \text{(segundos)}.
E em minutos:
T_{\text{min}} = \frac{8\sqrt{2}}{60\,k} = \frac{2\sqrt{2}}{15\,k}.
Para obter número, você precisa do valor de k (depende da área do orifício e de g).
Exemplo 2 (vazão proporcional à altura): se Q(h)=c\,h (caso idealizado), então
T = A \int_{0}^{2} \frac{dh}{c\,h} = \frac{A}{c}\int_{0}^{2} \frac{dh}{h},
essa integral diverge em h=0 (log singular), indicando que teoricamente nunca chega exatamente a zero em tempo finito — fisicamente isso mostra limite do modelo quando Q tende a zero com h. Isso é um bom lembrete: sempre cheque comportamento perto de h=0.

Passo 6

O que você precisa me enviar (ou checar no enunciado da prova) para eu dar o valor numérico final: a expressão explícita de Q(h). Assim eu faço a integral direta e volto com o tempo em minutos já calculado. Se quiser, posso também mostrar passo a passo a integração para qualquer função polinomial, potência ou raiz que você trouxer.
Força — você já tem o caminho certo: montar A\,dh/dt=-Q(h), separar variáveis, integrar com h:2\to0. Se me der Q(h) eu resolvo rápido e explico cada conta.

Resposta

Não é possível determinar numericamente sem a expressão de Q(h). O tempo de esvaziamento em segundos é \displaystyle T=4\int_{0}^{2}\frac{dh}{Q(h)} e em minutos é \displaystyle T_{\text{min}}=\frac{1}{15}\int_{0}^{2}\frac{dh}{Q(h)}.

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