2- No fundo de um reservatório prismático de
de área existe um orifício para a descarga, que fornece uma vazão variável com a altura no reservatório segundo a equação , sendo Q (m3/s) e h(m), onde h é a altura d’água no reservatório em um tempo qualquer. Se no instate inicial (
) a altura d’água no reservatório é igual a 2 m , determine em quantos minutos o reservatório será esvaziado
Passo 1
O enunciado pede para determinar em quantos minutos o reservatório será esvaziado quando, no instante inicial
, a altura da água é
. As informações que temos explicitamente são:
- área da base do reservatório:
; - altura inicial:
; - a vazão de saída é uma função da altura, escrita
(unidade ).
Informação crucial que falta: a expressão matemática de
. O enunciado que você enviou menciona “segundo a equação” mas essa equação não foi incluída. Sem essa expressão específica para
não é possível calcular um valor numérico do tempo de esvaziamento — só podemos obter uma fórmula geral em termos de
.
Passo 2
Vamos montar o modelo físico-matemático e explicar cada coisa, passo a passo, para saber o que fazer assim que tivermos
.
- Volume de água no reservatório: como o reservatório é prismático (seção constante), o volume é simplesmente a área da base vezes a altura da água. Escrevemos isso como
Aqui
é o volume em
no tempo
,
é a área da base em
e
é a altura em
.
- Relação entre variação do volume e vazão: a vazão
(em ) é a taxa com que o volume sai do reservatório. Tomando o sentido positivo de como o volume que sai, a equação de balanço de massa é
O sinal negativo aparece porque
diminui quando há descarga.
- Substituindo
na equação acima:
Aqui detalhei cada variável:
é conhecida (
),
é a incógnita função do tempo, e
é a função dada pela física do orifício (faltante no enunciado).
Passo 3
Agora resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis (método básico e direto). Começamos de
Isolando
e separando:
Integramos ambos os lados com os limites adequados: a altura varia de
até
no tempo
de
até
(tempo total de esvaziamento). Assim
Calculando o lado direito:
Mudando o sinal e invertendo os limites no lado esquerdo:
Portanto obtemos a expressão geral para o tempo de esvaziamento
(em segundos, se
estiver em
):
Passo 4
Substituíndo
obtemos a forma prática:
Se quisermos o resultado em minutos, dividimos por
:
Observação sobre unidades: essa expressão tem sentido porque
tem unidade
e
tem unidade
, então a razão
tem unidade
; multiplicando por
(em
) obtemos segundos.
Passo 5
Como o enunciado não fornece a expressão de
, não posso calcular um número. Mas para te ensinar na prática, mostro dois exemplos comuns e como proceder na prova:
Exemplo 1 (lei de Torricelli típica): muitas vezes a vazão por um orifício depende como
, onde
é uma constante que incorpora a área do orifício e
. Neste caso
Integrando
, obtemos
Com
isso vira
E em minutos:
Para obter número, você precisa do valor de
(depende da área do orifício e de
).
Exemplo 2 (vazão proporcional à altura): se
(caso idealizado), então
essa integral diverge em
(log singular), indicando que teoricamente nunca chega exatamente a zero em tempo finito — fisicamente isso mostra limite do modelo quando
tende a zero com
. Isso é um bom lembrete: sempre cheque comportamento perto de
.
Passo 6
O que você precisa me enviar (ou checar no enunciado da prova) para eu dar o valor numérico final: a expressão explícita de
. Assim eu faço a integral direta e volto com o tempo em minutos já calculado. Se quiser, posso também mostrar passo a passo a integração para qualquer função polinomial, potência ou raiz que você trouxer.
Força — você já tem o caminho certo: montar
, separar variáveis, integrar com
. Se me der
eu resolvo rápido e explico cada conta.
Resposta
Não é possível determinar numericamente sem a expressão de
. O tempo de esvaziamento em segundos é
e em minutos é
.