Em
, a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é
. Em
, sua aceleração é
.
(a) Calcule o ângulo entre as duas acelerações.
(b) Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença
é menor que um período?
(a) Calcule o ângulo entre as duas acelerações.
(b) Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença
Passo 1
O enunciado nos dá dois instantes e as acelerações vetoriais da partícula nesses instantes:
- Em
: . - Em
: .
O enunciado pede:
(a) o ângulo entre e
;
(b) o raio da trajetória, sabendo que
e que
é menor que um período (logo a variação angular entre os instantes é simplesmente a diferença de ângulo, sem múltiplos de
).
(a) o ângulo entre
(b) o raio
Passo 2
Primeiro vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores com o produto escalar. Para dois vetores
e
vale:
onde
é o ângulo entre eles,
é o módulo de
e
o módulo de
. Assim,
Aqui usaremos
e
. Esse é um método direto e muito usado em provas: calcula-se o produto escalar e os módulos e aplica-se a fórmula acima.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Como as componentes estão em
,
Fazendo as contas:
Um produto escalar zero indica que os vetores são perpendiculares. Portanto o ângulo
satisfaz
, logo
Passo 4
Agora vamos para a parte (b). Primeiro ensinar a relação física necessária: em movimento circular uniforme (MCU) a aceleração é centrípeta, dirigida para o centro da circunferência, e tem módulo
onde:
-
é o módulo da aceleração centrípeta, -
é a velocidade linear (constante em MCU), -
é o raio da trajetória, -
é a velocidade angular, relacionada por .
Também é importante notar a direção: a componente vetorial da aceleração é
, onde
é o vetor posição (ou seja,
aponta na direção oposta ao vetor posição, para o centro). Isso implica que quando a partícula gira um ângulo
, o vetor aceleração gira o mesmo ângulo
. Portanto o ângulo entre
e
(que já achamos ser
) é igual ao deslocamento angular
do raio (e também igual a
), desde que
seja menor que o período — condição dada no enunciado.
Passo 5
Usando o resultado anterior:
E como
, temos
Passo 6
Precisamos do módulo da aceleração
. Podemos calcular a partir de qualquer uma das acelerações dadas (elas têm mesmo módulo porque é MCU). Calculemos o módulo de
:
(Confirmação rápida:
, igual como esperado.)
Passo 7
Usamos a relação
. Isolando
,
Substituindo
e
:
Passo 8
Calculando um valor numérico aproximado para ficar prático na prova:
Resposta
(a)
(b)
(b)