Em t_{1}=2,00 \mathrm{~s}, a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é \left(6,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\imath}+\left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\jmath}. Em t_{2}=5,00 \mathrm{~s}, sua aceleração é \left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\imath}+ \left(-6,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\jmath}.
(a) Calcule o ângulo entre as duas acelerações.
(b) Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença t_{2}-t_{1} é menor que um período?

Passo 1

O enunciado nos dá dois instantes e as acelerações vetoriais da partícula nesses instantes:
  • Em t_{1}=2,00\\ \mathrm{s}: \vec a_{1}=(6,00\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\hat\imath+(4,00\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\hat\jmath.
  • Em t_{2}=5,00\\ \mathrm{s}: \vec a_{2}=(4,00\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\hat\imath+(-6,00\\ \mathrm{m/s^{2}})\,\hat\jmath.
O enunciado pede:
(a) o ângulo entre \vec a_{1} e \vec a_{2};
(b) o raio R da trajetória, sabendo que \Delta t = t_{2}-t_{1}=3,00\\ \mathrm{s} e que \Delta t é menor que um período (logo a variação angular entre os instantes é simplesmente a diferença de ângulo, sem múltiplos de 2\pi).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores com o produto escalar. Para dois vetores \vec u e \vec v vale:
\vec u\cdot\vec v = |\vec u|\,|\vec v|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles, |\vec u| é o módulo de \vec u e |\vec v| o módulo de \vec v. Assim,
\cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}.
Aqui usaremos \vec u=\vec a_{1} e \vec v=\vec a_{2}. Esse é um método direto e muito usado em provas: calcula-se o produto escalar e os módulos e aplica-se a fórmula acima.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec a_{1}\cdot\vec a_{2}. Como as componentes estão em \hat\imath,\hat\jmath,
\vec a_{1}\cdot\vec a_{2} = (6,00)(4,00) + (4,00)(-6,00).
Fazendo as contas:
\vec a_{1}\cdot\vec a_{2} = 24,00 - 24,00 = 0,00\\ \mathrm{(m^{2}/s^{4})}.
Um produto escalar zero indica que os vetores são perpendiculares. Portanto o ângulo \theta satisfaz \cos\theta=0, logo
\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad}.

Passo 4

Agora vamos para a parte (b). Primeiro ensinar a relação física necessária: em movimento circular uniforme (MCU) a aceleração é centrípeta, dirigida para o centro da circunferência, e tem módulo
a = \frac{v^{2}}{R} = \omega^{2}R,
onde:
  • a é o módulo da aceleração centrípeta,
  • v é a velocidade linear (constante em MCU),
  • R é o raio da trajetória,
  • \omega é a velocidade angular, relacionada por v=\omega R.
Também é importante notar a direção: a componente vetorial da aceleração é \vec a = -\omega^{2}\,\vec r, onde \vec r é o vetor posição (ou seja, \vec a aponta na direção oposta ao vetor posição, para o centro). Isso implica que quando a partícula gira um ângulo \Delta\theta, o vetor aceleração gira o mesmo ângulo \Delta\theta. Portanto o ângulo entre \vec a_{1} e \vec a_{2} (que já achamos ser \pi/2) é igual ao deslocamento angular \Delta\theta do raio (e também igual a \omega\,\Delta t), desde que \Delta t seja menor que o período — condição dada no enunciado.

Passo 5

Usando o resultado anterior:
\Delta\theta = \theta = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad}.
E como \Delta\theta = \omega\,\Delta t, temos
\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\pi/2}{3,00\\ \mathrm{s}} = \frac{\pi}{6}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Precisamos do módulo da aceleração a. Podemos calcular a partir de qualquer uma das acelerações dadas (elas têm mesmo módulo porque é MCU). Calculemos o módulo de \vec a_{1}:
|\vec a_{1}|=\sqrt{6,00^{2}+4,00^{2}}=\sqrt{36,00+16,00}=\sqrt{52,00}=2\sqrt{13}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Confirmação rápida: |\vec a_{2}|=\sqrt{4^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}, igual como esperado.)

Passo 7

Usamos a relação \,a=\omega^{2}R. Isolando R,
R=\frac{a}{\omega^{2}}.
Substituindo a=2\sqrt{13}\\ \mathrm{m/s^{2}} e \omega=\dfrac{\pi}{6}\\ \mathrm{rad/s}:
R = \frac{2\sqrt{13}}{\left(\dfrac{\pi}{6}\right)^{2}} = \frac{2\sqrt{13}}{\dfrac{\pi^{2}}{36}} = \frac{2\sqrt{13}\cdot 36}{\pi^{2}} = \frac{72\sqrt{13}}{\pi^{2}}\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calculando um valor numérico aproximado para ficar prático na prova:
\sqrt{13}\approx 3,605551\dots
72\sqrt{13}\approx 72\cdot 3,605551\approx 259,600
\pi^{2}\approx 9,869604\quad\Rightarrow\quad R\approx \dfrac{259,600}{9,869604}\approx 26,31\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 90^\circ \left(\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}\right)
(b) R=\dfrac{72\sqrt{13}}{\pi^{2}}\\ \mathrm{m}\approx 26,31\\ \mathrm{m}

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