Questão (2,5,pontos): Considere uma esfera de raio
, uniformemente carregada, com carga Q e densidade volumétrica de carga
. Calcule o campo elétrico
para pontos externos à esfera
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo que eu listei abaixo vem explicitamente do enunciado):
- Uma esfera de raio
, carregada de forma uniforme no volume. - A carga total na esfera é
. - A densidade volumétrica de carga é
(constante dentro da esfera). - Pedem o campo elétrico
para pontos externos à esfera, isto é, para .
Pergunta clara: calcular
para
. Observação útil: como a carga é uniforme, a carga total está relacionada com a densidade por
então a resposta pode ser dada em termos de
ou em termos de
.
Passo 2
Escolha do método e por que ele funciona (explicação didática):
- A esfera é totalmente simétrica em relação a rotações (simetria esférica). Isso implica que, em um ponto localizado a uma distância
do centro (com ), o campo elétrico terá direção radial e o mesmo módulo em todos os pontos da esfera de raio . - Dada essa simetria, a ferramenta mais simples e direta é a Lei de Gauss. Vamos apresentá-la e explicar seus símbolos:
Aqui: -
é o fluxo elétrico através da superfície fechada . -
é o campo elétrico no ponto da superfície. -
é o vetor área infinitesimal da superfície (módulo igual à área do elemento, direção normal para fora). -
é a carga total contida dentro da superfície fechada. -
é a permissividade do vácuo (constante física).
-
- Por simetria, escolheremos como superfície gaussiana uma esfera de raio
centrada na esfera carregada. Nessa superfície: -
é paralelo a (ambos radiais). -
é constante sobre a superfície.
-
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss ao caso (cálculo do fluxo):
- O fluxo através da superfície esférica de raio
é simplesmente vezes a área da esfera, porque e são paralelos e é constante na superfície: - Para
a superfície gaussiana envolve toda a carga da esfera, logo . Alternativamente, usando a densidade ,
Passo 4
Isolando
a partir da Lei de Gauss:
- Substituindo na Lei de Gauss:
- Portanto o módulo do campo é
- Em forma vetorial, indicando a direção radial (para fora se
, para dentro se ): onde é o versor radial (do centro para o ponto). - Se preferir escrever em termos de
, substitui-se : e vetorialmente
Passo 5
Interpretação física e dicas para a prova (breve, prática e motivadora):
- Resultado intuitivo: para pontos externos a uma esfera sfericamente carregada, o campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro — ou seja, igual ao campo de uma carga pontual
situada no centro. - Isso acontece por causa da simetria esférica e é uma aplicação direta e típica da Lei de Gauss — ótimo exemplo para usar em provas porque evita integrais complicadas.
- Dica prática: sempre verifique primeiro a simetria; se for esférica, escolha superfície gaussiana esférica e aplique a lei de Gauss, lembrando de explicar por que
é constante na superfície escolhida. - Ânimo: você chegou até aqui e esse problema é um dos clássicos — com prática fica automático!