4^{\text {a }} Questão (2,5,pontos): Considere uma esfera de raio R, uniformemente carregada, com carga Q e densidade volumétrica de carga \rho. Calcule o campo elétrico E(r) para pontos externos à esfera (r>R)

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo que eu listei abaixo vem explicitamente do enunciado):
  • Uma esfera de raio R, carregada de forma uniforme no volume.
  • A carga total na esfera é Q.
  • A densidade volumétrica de carga é \rho (constante dentro da esfera).
  • Pedem o campo elétrico E(r) para pontos externos à esfera, isto é, para r>R.
Pergunta clara: calcular \mathbf{E}(r) para r>R. Observação útil: como a carga é uniforme, a carga total está relacionada com a densidade por
Q=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3,
então a resposta pode ser dada em termos de Q ou em termos de \rho.

Passo 2

Escolha do método e por que ele funciona (explicação didática):
  • A esfera é totalmente simétrica em relação a rotações (simetria esférica). Isso implica que, em um ponto localizado a uma distância r do centro (com r>R), o campo elétrico terá direção radial e o mesmo módulo em todos os pontos da esfera de raio r.
  • Dada essa simetria, a ferramenta mais simples e direta é a Lei de Gauss. Vamos apresentá-la e explicar seus símbolos: \oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.Aqui:
    • \oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico através da superfície fechada \partial V.
    • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície.
    • d\mathbf{A} é o vetor área infinitesimal da superfície (módulo igual à área do elemento, direção normal para fora).
    • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada.
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante física).
  • Por simetria, escolheremos como superfície gaussiana uma esfera de raio r centrada na esfera carregada. Nessa superfície:
    • \mathbf{E} é paralelo a d\mathbf{A} (ambos radiais).
    • |\mathbf{E}| é constante sobre a superfície.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss ao caso (cálculo do fluxo):
  • O fluxo através da superfície esférica de raio r é simplesmente E(r) vezes a área da esfera, porque \mathbf{E} e d\mathbf{A} são paralelos e |\mathbf{E}| é constante na superfície: \oint_{\text{esfera } r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\cdot 4\pi r^2.
  • Para r>R a superfície gaussiana envolve toda a carga da esfera, logo Q_{\text{int}}=Q. Alternativamente, usando a densidade \rho, Q_{\text{int}} = Q = \rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3.

Passo 4

Isolando E(r) a partir da Lei de Gauss:
  • Substituindo na Lei de Gauss: E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Portanto o módulo do campo é E(r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}.
  • Em forma vetorial, indicando a direção radial (para fora se Q>0, para dentro se Q<0): \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\,\hat{r},\qquad r>R,onde \hat{r} é o versor radial (do centro para o ponto).
  • Se preferir escrever em termos de \rho, substitui-se Q=\rho\frac{4}{3}\pi R^3: E(r)=\frac{\rho\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2},e vetorialmente \mathbf{E}(r)=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}\,\hat{r},\qquad r>R.

Passo 5

Interpretação física e dicas para a prova (breve, prática e motivadora):
  • Resultado intuitivo: para pontos externos a uma esfera sfericamente carregada, o campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro — ou seja, igual ao campo de uma carga pontual Q situada no centro.
  • Isso acontece por causa da simetria esférica e é uma aplicação direta e típica da Lei de Gauss — ótimo exemplo para usar em provas porque evita integrais complicadas.
  • Dica prática: sempre verifique primeiro a simetria; se for esférica, escolha superfície gaussiana esférica e aplique a lei de Gauss, lembrando de explicar por que |\mathbf{E}| é constante na superfície escolhida.
  • Ânimo: você chegou até aqui e esse problema é um dos clássicos — com prática fica automático!

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat{r}\quad(r>R)
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}\,\hat{r}\quad(r>R)

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