{ }^{\text {3a }} Questão (2,5 pontos): (a) Considere um anel de raio R, com carga Q e densidade linear de carga \lambda. Calcule, por integração direta, o campo elétrico em um ponto P , a uma altura z acima do anel, localizado sobre um eixo que passe pelo centro do anel, perpendicularmente ao plano formado pelo anel. (b) Mostre que para z \gg R o campo elétrico assim obtido se reduz ao campo de uma carga puntual, de carga idêntica à carga do anel, a uma distância z da mesma.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá os seguintes dados (vou listar com calma para não nos perder):
  • Dados do problema:
    • Um anel de raio R.
    • Carga total do anel Q.
    • Densidade linear de carga \lambda (note que, por consistência, \lambda = \dfrac{Q}{2\pi R} — vou usar isso depois).
    • Um ponto P sobre o eixo que passa pelo centro do anel, a uma altura z acima do plano do anel (ou seja, o eixo é perpendicular ao plano do anel).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular, por integração direta, o campo elétrico em P.
    • (b) Mostrar que, no limite z \gg R, o campo obtido se reduz ao campo de uma carga pontual Q situada a distância z.

Passo 2

Escolher sistema de coordenadas e elemento de carga:
  • Coloco o centro do anel na origem e o anel no plano xy com seu eixo coincidindo com o eixo z. O ponto P tem coordenadas (0,0,z) com z>0.
  • Parametrizo o anel por um ângulo polar \varphi medido no plano do anel. Um elemento infinitesimal de comprimento do anel é dl = R\,d\varphi.
  • O elemento de carga corresponde a \,dq=\lambda\,dl=\lambda R\,d\varphi.
  • Lembrete físico: a lei de Coulomb para um elemento de carga diz que o campo infinitesimal gerado por dq no ponto P tem magnitude dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r^2},onde r é a distância entre o elemento dq e o ponto P, e a direção é ao longo do vetor que liga dq a P. Aqui 1/(4\pi\varepsilon_0) é a constante eletrostática (às vezes chamada de k).

Passo 3

Calcular a distância r e decompor o campo:
  • A distância do elemento localizado em ângulo \varphi até P é a mesma para todo o anel: r=\sqrt{R^2+z^2}.(isso porque o elemento está a distância R do eixo e o ponto P está no eixo a altura z.)
  • O vetor campo d\mathbf{E} gerado por dq aponta da carga para P (ou de P para a carga, dependendo do sinal da carga; aqui estamos interessados na direção e no módulo). Pela simetria circular, os componentes no plano do anel (componentes radiais horizontais) de todos os d\mathbf{E} de elementos diferentes vão se cancelar quando integrados ao redor do anel. Só sobra o componente ao longo do eixo z.
  • O cosseno do ângulo entre o vetor \mathbf{r} e o eixo z é \cos\theta = \dfrac{z}{r} = \dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.

Passo 4

Expressar o elemento do campo ao longo do eixo z:
  • A magnitude do campo gerado por dq é, pela lei de Coulomb, dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}.
  • O componente ao longo do eixo z é dE_z = dE\cos\theta. Substituindo dE e \cos\theta, dE_z = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}\cdot\dfrac{z}{r} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{z\,dq}{r^3}.
  • Lembrando que r=\sqrt{R^2+z^2} e que dq=\lambda R\,d\varphi.

Passo 5

Integrar ao redor do anel para obter E_z:
  • Integramos \varphi de 0 a 2\pi. Substituindo dq obtemos E_z=\int dE_z =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\dfrac{z\,(\lambda R\,d\varphi)}{(R^2+z^2)^{3/2}}.
  • Observe que z, \lambda, R e r=(R^2+z^2)^{1/2} são independentes de \varphi, então saem da integral: E_z=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{z\,\lambda R}{(R^2+z^2)^{3/2}}\int_{0}^{2\pi}d\varphi.
  • A integral \int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi. Então E_z=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{z\,\lambda R\,(2\pi)}{(R^2+z^2)^{3/2}}.
  • Como \lambda(2\pi R)=Q, simplifica-se para E_z=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 6

Indicar a direção e escrever o campo vetorial:
  • O campo resultante aponta ao longo do eixo z. Se Q>0 e z>0, o campo aponta para cima (sentido positivo de z) — na verdade a direção depende do sinal de Q: cargas positivas repelem, negativas atraem.
  • Em forma vetorial, usando o versor \hat{\mathbf{z}}, \mathbf{E}(0,0,z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 7

Analisar o limite z \gg R (parte b) — ideia física e técnica:
  • Fisicamente esperamos que, muito longe do anel, ele “pareça” uma carga pontual de carga total Q, então o campo deve tender para o campo de Coulomb de uma carga Q a distância z: \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{z^2}.
  • Vamos mostrar isso matematicamente a partir da expressão encontrada. Começamos com E_z=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}}.
  • Quando z\gg R, é conveniente escrever (R^2+z^2)^{3/2}=z^3\left(1+\dfrac{R^2}{z^2}\right)^{3/2}. Usando a expansão binomial para \left(1+\varepsilon\right)^{3/2} com \varepsilon=\dfrac{R^2}{z^2}\ll1, \left(1+\dfrac{R^2}{z^2}\right)^{3/2}\approx 1+\dfrac{3}{2}\dfrac{R^2}{z^2}+\cdots.
  • Assim E_z \approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,z}{z^3}\left(1-\dfrac{3}{2}\dfrac{R^2}{z^2}+\cdots\right) =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{z^2}\left(1-\dfrac{3}{2}\dfrac{R^2}{z^2}+\cdots\right).
  • O termo dominante (principal) quando z\to\infty é E_z\sim \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{z^2},que é exatamente o campo de uma carga pontual Q a distância z (na direção do eixo). Portanto a redução ao campo de carga puntiforme está demonstrada. Se preferir uma argumentação mais direta e menos formal: para z\gg R a distância r=\sqrt{R^2+z^2}\approx z, então substituindo r\approx z em E_z dá o mesmo resultado de primeira ordem.

Passo 8

Resumo didático e intuição (para a prova — o que decorar e por quê):
  • Passos-chave que você pode usar rapidamente na prova:
    1. Pegue um elemento dq=\lambda R\,d\varphi.
    2. Distância comum r=\sqrt{R^2+z^2}.
    3. Só o componente axial sobrevive por simetria; \cos\theta = z/r.
    4. Integre dE_z=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{z\,dq}{r^3} de 0 a 2\pi.
    5. Use \lambda(2\pi R)=Q para simplificar.
  • Resultado final útil de decorar: \mathbf{E}(0,0,z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • E a observação de ordem grandeza: para z\gg R o anel se comporta como carga puntiforme Q e E_z\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{z^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(0,0,z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}
(b) \displaystyle E_z\underset{z\gg R}{\longrightarrow}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{z^2}

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