Questão (2,5 pontos): (a) Considere um anel de raio
, com carga
e densidade linear de carga
. Calcule, por integração direta, o campo elétrico em um ponto P , a uma altura
acima do anel, localizado sobre um eixo que passe pelo centro do anel, perpendicularmente ao plano formado pelo anel. (b) Mostre que para
o campo elétrico assim obtido se reduz ao campo de uma carga puntual, de carga idêntica à carga do anel, a uma distância
da mesma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá os seguintes dados (vou listar com calma para não nos perder):
- Dados do problema:
- Um anel de raio
. - Carga total do anel
. - Densidade linear de carga
(note que, por consistência, — vou usar isso depois). - Um ponto
sobre o eixo que passa pelo centro do anel, a uma altura acima do plano do anel (ou seja, o eixo é perpendicular ao plano do anel).
- Um anel de raio
- Perguntas:
- (a) Calcular, por integração direta, o campo elétrico em
. - (b) Mostrar que, no limite
, o campo obtido se reduz ao campo de uma carga pontual situada a distância .
- (a) Calcular, por integração direta, o campo elétrico em
Passo 2
Escolher sistema de coordenadas e elemento de carga:
- Coloco o centro do anel na origem e o anel no plano
com seu eixo coincidindo com o eixo . O ponto tem coordenadas com . - Parametrizo o anel por um ângulo polar
medido no plano do anel. Um elemento infinitesimal de comprimento do anel é . - O elemento de carga corresponde a
. - Lembrete físico: a lei de Coulomb para um elemento de carga diz que o campo infinitesimal gerado por
no ponto tem magnitude onde é a distância entre o elemento e o ponto , e a direção é ao longo do vetor que liga a . Aqui é a constante eletrostática (às vezes chamada de ).
Passo 3
Calcular a distância
e decompor o campo:
- A distância do elemento localizado em ângulo
até é a mesma para todo o anel: (isso porque o elemento está a distância do eixo e o ponto está no eixo a altura .) - O vetor campo
gerado por aponta da carga para (ou de para a carga, dependendo do sinal da carga; aqui estamos interessados na direção e no módulo). Pela simetria circular, os componentes no plano do anel (componentes radiais horizontais) de todos os de elementos diferentes vão se cancelar quando integrados ao redor do anel. Só sobra o componente ao longo do eixo . - O cosseno do ângulo entre o vetor
e o eixo é
Passo 4
Expressar o elemento do campo ao longo do eixo
:
- A magnitude do campo gerado por
é, pela lei de Coulomb, - O componente ao longo do eixo
é . Substituindo e , - Lembrando que
e que .
Passo 5
Integrar ao redor do anel para obter
:
- Integramos
de a . Substituindo obtemos - Observe que
, , e são independentes de , então saem da integral: - A integral
. Então - Como
, simplifica-se para
Passo 6
Indicar a direção e escrever o campo vetorial:
- O campo resultante aponta ao longo do eixo
. Se e , o campo aponta para cima (sentido positivo de ) — na verdade a direção depende do sinal de : cargas positivas repelem, negativas atraem. - Em forma vetorial, usando o versor
,
Passo 7
Analisar o limite
(parte b) — ideia física e técnica:
- Fisicamente esperamos que, muito longe do anel, ele “pareça” uma carga pontual de carga total
, então o campo deve tender para o campo de Coulomb de uma carga a distância : . - Vamos mostrar isso matematicamente a partir da expressão encontrada. Começamos com
- Quando
, é conveniente escrever . Usando a expansão binomial para com , - Assim
- O termo dominante (principal) quando
é que é exatamente o campo de uma carga pontual a distância (na direção do eixo). Portanto a redução ao campo de carga puntiforme está demonstrada. Se preferir uma argumentação mais direta e menos formal: para a distância , então substituindo em dá o mesmo resultado de primeira ordem.
Passo 8
Resumo didático e intuição (para a prova — o que decorar e por quê):
- Passos-chave que você pode usar rapidamente na prova:
- Pegue um elemento
. - Distância comum
. - Só o componente axial sobrevive por simetria;
. - Integre
de a . - Use
para simplificar.
- Pegue um elemento
- Resultado final útil de decorar:
- E a observação de ordem grandeza: para
o anel se comporta como carga puntiforme e
Resposta
(a)
(b)
(b)