, onde S é o pedaço da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 na região y+z \geq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{2} y z \, dS
onde S é o pedaço da esfera unitária
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
na região definida por
y+z \geq 1.
Informações relevantes dadas:
A superfície S é uma porção da esfera de raio 1.
A região é a parte da esfera de um lado do plano y+z=1.
A função a integrar sobre a superfície é x^{2} y z.
Precisamos devolver o valor numérico da integral sobre essa porção da esfera.
Passo 2
Entendendo geometricamente a região: o plano y+z=1\) tem vetor normal \(n=(0,1,1)\). A distância do plano à origem é
\[\frac{|1|}{\|n\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Como a esfera tem raio 1, a interseção do plano com a esfera produz um “gomo” (spherical cap) cuja abertura angular \gamma em relação à direção normal unitária do plano satisfaz
Portanto S é o gomo da esfera centrado na direção do vetor unitário
u=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1)
com \gamma variando de 0 até \pi/4. Isso sugere usar coordenadas esféricas alinhadas com o eixo z' paralelo a u. Para isso realizamos uma rotação simples: giramos o sistema em torno do eixo x por \theta=\pi/4 de modo que
Nessa nova base, o eixo z'\] aponta para \(u e a região S é o gomo com \gamma\in[0,\pi/4] e \psi\in[0,2\pi) (onde \psi é o ângulo azimutal em torno de z').]
Passo 3
Escrevemos x,y,z\) em função de \(x',y',z'\) invertendo o sistema:
\[\begin{cases} x = x',\\[4pt] y = \dfrac{y'+z'}{\sqrt{2}},\\[6pt] z = \dfrac{z'-y'}{\sqrt{2}}. \end{cases}
Agora substituímos na função x^{2} y z\]. Primeiro calculamos \(y z:
y z = \frac{(y'+z')(z'-y')}{2} = \frac{z'^{2}-y'^{2}}{2}.
Logo
x^{2} y z = x'^{2}\cdot \frac{z'^{2}-y'^{2}}{2} = \frac{1}{2}\,x'^{2}z'^{2} - \frac{1}{2}\,x'^{2}y'^{2}.
Observação útil: a rotação é ortonormal, então o elemento de área da esfera unitária permanece dS=\sin\gamma\,d\gamma\,d\psi quando paramos pela polar \gamma em torno do eixo z' e azimutal \psi.]
Passo 4
Parametrizamos a esfera unitária em coordenadas esféricas com o eixo polar em z'\):
\[\begin{cases} x'=\sin\gamma\cos\psi,\\[4pt] y'=\sin\gamma\sin\psi,\\[4pt] z'=\cos\gamma, \end{cases}
com \gamma\in[0,\pi/4]\] e \(\psi\in[0,2\pi). O elemento de área é
Calculando os termos com e sem \sqrt{2} separadamente, os termos racionais em \frac{2}{15} e \frac{8}{15} cancelam, e os termos com 1/\sqrt{2} somam para
\frac{1}{32\sqrt{2}}.
Multiplicando pelo fator \pi que estava fora da integral, obtemos o valor final:
\iint_{S} x^{2} y z \, dS = \frac{\pi}{32\sqrt{2}}.