Calcule as integrais escalares de superfície.
\iint_{S} x^{2} y z d S
, onde S é o pedaço da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 na região y+z \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{2} y z \, dS
onde S é o pedaço da esfera unitária
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
na região definida por
y+z \geq 1.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é uma porção da esfera de raio 1.
  • A região é a parte da esfera de um lado do plano y+z=1.
  • A função a integrar sobre a superfície é x^{2} y z.
  • Precisamos devolver o valor numérico da integral sobre essa porção da esfera.

Passo 2

Entendendo geometricamente a região: o plano y+z=1\) tem vetor normal \(n=(0,1,1)\). A distância do plano à origem é \[\frac{|1|}{\|n\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Como a esfera tem raio 1, a interseção do plano com a esfera produz um “gomo” (spherical cap) cuja abertura angular \gamma em relação à direção normal unitária do plano satisfaz
\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Rightarrow\quad \gamma \le \frac{\pi}{4}.
Portanto S é o gomo da esfera centrado na direção do vetor unitário
u=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1)
com \gamma variando de 0 até \pi/4. Isso sugere usar coordenadas esféricas alinhadas com o eixo z' paralelo a u. Para isso realizamos uma rotação simples: giramos o sistema em torno do eixo x por \theta=\pi/4 de modo que
\begin{cases} x' = x,\\[4pt] y' = \dfrac{y-z}{\sqrt{2}},\\[6pt] z' = \dfrac{y+z}{\sqrt{2}}. \end{cases}
Nessa nova base, o eixo z'\] aponta para \(u e a região S é o gomo com \gamma\in[0,\pi/4] e \psi\in[0,2\pi) (onde \psi é o ângulo azimutal em torno de z').]

Passo 3

Escrevemos x,y,z\) em função de \(x',y',z'\) invertendo o sistema: \[\begin{cases} x = x',\\[4pt] y = \dfrac{y'+z'}{\sqrt{2}},\\[6pt] z = \dfrac{z'-y'}{\sqrt{2}}. \end{cases}
Agora substituímos na função x^{2} y z\]. Primeiro calculamos \(y z:
y z = \frac{(y'+z')(z'-y')}{2} = \frac{z'^{2}-y'^{2}}{2}.
Logo
x^{2} y z = x'^{2}\cdot \frac{z'^{2}-y'^{2}}{2} = \frac{1}{2}\,x'^{2}z'^{2} - \frac{1}{2}\,x'^{2}y'^{2}.
Observação útil: a rotação é ortonormal, então o elemento de área da esfera unitária permanece dS=\sin\gamma\,d\gamma\,d\psi quando paramos pela polar \gamma em torno do eixo z' e azimutal \psi.]

Passo 4

Parametrizamos a esfera unitária em coordenadas esféricas com o eixo polar em z'\): \[\begin{cases} x'=\sin\gamma\cos\psi,\\[4pt] y'=\sin\gamma\sin\psi,\\[4pt] z'=\cos\gamma, \end{cases}
com \gamma\in[0,\pi/4]\] e \(\psi\in[0,2\pi). O elemento de área é
dS=\sin\gamma\,d\gamma\,d\psi.
Substituindo na expressão obtida:
x'^{2} = \sin^{2}\gamma\cos^{2}\psi,\qquad y'^{2} = \sin^{2}\gamma\sin^{2}\psi,\qquad z'^{2} = \cos^{2}\gamma.
Assim o integrando fica
\frac{1}{2}\sin^{2}\gamma\cos^{2}\psi\cos^{2}\gamma - \frac{1}{2}\sin^{4}\gamma\cos^{2}\psi\sin^{2}\psi,
e a integral total é
\iint_{S} x^{2} y z \, dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4} \left[ \frac{1}{2}\sin^{2}\gamma\cos^{2}\psi\cos^{2}\gamma - \frac{1}{2}\sin^{4}\gamma\cos^{2}\psi\sin^{2}\psi \right]\sin\gamma\,d\gamma\,d\psi.]

Passo 5

Integramos primeiro em \psi (explorando a simetria rotacional em torno de z'). Precisamos de duas integrais angulares:
I_{1}=\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\psi\,d\psi,\qquad I_{2}=\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\psi\sin^{2}\psi\,d\psi.
Calculamos:
I_{1}=2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi,
pois a média de \cos^{2}\psi é 1/2. Para I_{2} usamos \cos^{2}\psi\sin^{2}\psi=\tfrac{1}{4}\sin^{2}2\psi=\tfrac{1}{8}(1-\cos4\psi), daí
I_{2}=2\pi\cdot\frac{1}{8}=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Com esses resultados a integral reduz-se a
\iint_{S} x^{2} y z \, dS = \int_{0}^{\pi/4} \left[ \frac{1}{2}\sin^{2}\gamma\cos^{2}\gamma\cdot I_{1} - \frac{1}{2}\sin^{4}\gamma\cdot I_{2} \right]\sin\gamma\,d\gamma.
Substituindo I_{1}=\pi e I_{2}=\pi/4,
\iint_{S} x^{2} y z \, dS = \pi\int_{0}^{\pi/4}\left( \frac{1}{2}\sin^{3}\gamma\cos^{2}\gamma - \frac{1}{8}\sin^{5}\gamma \right)d\gamma.

Passo 7

Calculamos as integrais em \gamma usando a substituição u=\cos\gamma, du=-\sin\gamma\,d\gamma.
Primeira integral:
\int \sin^{3}\gamma\cos^{2}\gamma\,d\gamma = \int \sin^{2}\gamma \cos^{2}\gamma \sin\gamma\,d\gamma = \int (1-u^{2})u^{2}(-du) = -\int (u^{2}-u^{4})\,du = -\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5} + C.
Segunda integral:
\int \sin^{5}\gamma\,d\gamma = \int \sin^{4}\gamma\sin\gamma\,d\gamma = \int (1-u^{2})^{2}(-du) = -\int (1-2u^{2}+u^{4})\,du = -u+\frac{2}{3}u^{3}-\frac{u^{5}}{5} + C.
Agora avaliamos de \gamma=0 ( u=1) até \gamma=\pi/4 ( u=1/\sqrt{2}).
Avaliação da primeira:
\left[-\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}\right]_{1}^{1/\sqrt{2}} = \left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4\sqrt{2}}\right) - \left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right) = -\frac{7}{60\sqrt{2}} + \frac{2}{15}.
Avaliação da segunda:
\left[-u+\frac{2}{3}u^{3}-\frac{u^{5}}{5}\right]_{1}^{1/\sqrt{2}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4\sqrt{2}}\right) - \left(-1+\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right) = -\frac{43}{60\sqrt{2}} + \frac{8}{15}.
Voltando à combinação com os fatores \frac{1}{2} e \frac{1}{8}:
\int_{0}^{\pi/4}\left( \frac{1}{2}\sin^{3}\gamma\cos^{2}\gamma - \frac{1}{8}\sin^{5}\gamma \right)d\gamma = \frac{1}{2}\Big(-\frac{7}{60\sqrt{2}}+\frac{2}{15}\Big) - \frac{1}{8}\Big(-\frac{43}{60\sqrt{2}}+\frac{8}{15}\Big).
Calculando os termos com e sem \sqrt{2} separadamente, os termos racionais em \frac{2}{15} e \frac{8}{15} cancelam, e os termos com 1/\sqrt{2} somam para
\frac{1}{32\sqrt{2}}.
Multiplicando pelo fator \pi que estava fora da integral, obtemos o valor final:
\iint_{S} x^{2} y z \, dS = \frac{\pi}{32\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{32\sqrt{2}}

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