2,00 pontos
Calcule \int_{\eta} \vec{G} \cdot \overrightarrow{d l}, onde \eta é a curva x^{2}+y^{2}=1, x>0, de (\sqrt{3} / 2,-1 / 2) até (\sqrt{3} / 2,1 / 2), e
\vec{G}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{\eta} \vec{G}\cdot\overrightarrow{d l}, onde a curva \eta é a parte do círculo x^{2}+y^{2}=1 com x>0, indo do ponto \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}\right) até \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2}\right). A função vetorial dada é
\vec{G}(x,y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+2x\right).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  1. A curva \eta está sobre o círculo unitário \,x^{2}+y^{2}=1.
  2. Os pontos extremos correspondem a ângulos \theta=-\tfrac{\pi}{6} (ponto inferior) e \theta=\tfrac{\pi}{6} (ponto superior) no círculo unitário, pois \cos(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(\pm\tfrac{\pi}{6})=\pm\tfrac{1}{2}.
  3. A orientação da curva é do ponto com y=-\tfrac{1}{2} para o ponto com y=+\tfrac{1}{2}, ou seja, aumentando o ângulo \theta de -\tfrac{\pi}{6} a \tfrac{\pi}{6}.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a parametrização da curva e a definição de integral de linha para campos vetoriais. A fórmula que vamos aplicar é a seguinte:
Se \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) parametriza a curva para t em [a,b], então
\int_{\eta}\vec{G}\cdot d\vec{l}=\int_{a}^{b}\vec{G}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando isso de forma simples: \vec{r}(t) descreve a posição ao longo da curva; \vec{r}\,'(t) é o vetor tangente (direção e comprimento infinitesimal) e \vec{G}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado naquele ponto. O produto escalar dá a contribuição do campo na direção do deslocamento, e integrar soma essas contribuições ao longo da curva.

Passo 3

Parametrização da curva \eta. Como \eta é a parte do círculo unitário com x>0 entre os ângulos -\tfrac{\pi}{6} e \tfrac{\pi}{6}, parametrizamos por
\vec{r}(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\right].
Derivando,
\vec{r}\,'(\theta)=(-\sin\theta,\cos\theta).
Os diferenciais são dx=-\sin\theta\,d\theta e dy=\cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Avaliar o campo \vec{G} sobre a curva. Como sobre a curva temos x^{2}+y^{2}=1, ao substituir x=\cos\theta,\;y=\sin\theta obtemos
\vec{G}(\cos\theta,\sin\theta)=\left(\frac{-\sin\theta}{1},\;\frac{\cos\theta}{1}+2\cos\theta\right)=(-\sin\theta,\;3\cos\theta).
Expliquei: o denominador x^{2}+y^{2} vale 1 na circunferência unitária, então os termos simplificam.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{G}(\vec{r}(\theta))\cdot\vec{r}\,'(\theta). Substituindo os vetores:
\vec{G}(\vec{r}(\theta))\cdot\vec{r}\,'(\theta)=(-\sin\theta,\;3\cos\theta)\cdot(-\sin\theta,\cos\theta).
Fazendo o produto escalar componente a componente:
(-\sin\theta)(-\sin\theta)+(3\cos\theta)(\cos\theta)=\sin^{2}\theta+3\cos^{2}\theta.
Simplificamos essa expressão usando \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1:
\sin^{2}\theta+3\cos^{2}\theta=(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)+2\cos^{2}\theta=1+2\cos^{2}\theta.

Passo 6

Montar a integral definida em \theta:
\int_{\eta}\vec{G}\cdot d\vec{l}=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\big(1+2\cos^{2}\theta\big)\,d\theta.
Para integrar, usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Substituindo:
1+2\cos^{2}\theta=1+2\cdot\frac{1+\cos(2\theta)}{2}=1+(1+\cos(2\theta))=2+\cos(2\theta).
Portanto a integral fica
\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\big(2+\cos(2\theta)\big)\,d\theta.

Passo 7

Calcular a primitiva e avaliar nos limites. Uma primitiva de 2+\cos(2\theta) é 2\theta+\tfrac{1}{2}\sin(2\theta), porque \dfrac{d}{d\theta}\big(2\theta+\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\big)=2+\cos(2\theta). Assim
\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\big(2+\cos(2\theta)\big)\,d\theta=\left[2\theta+\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{-\pi/6}^{\pi/6}.
Avaliar em \theta=\tfrac{\pi}{6}:
2\cdot\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{1}{2}\sin\big(2\cdot\tfrac{\pi}{6}\big)=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{1}{2}\sin\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\sqrt{3}}{4}.
Avaliar em \theta=-\tfrac{\pi}{6}:
2\cdot\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)+\tfrac{1}{2}\sin\big(2\cdot(-\tfrac{\pi}{6})\big)=-\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{1}{2}\sin\big(-\tfrac{\pi}{3}\big)=-\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\sqrt{3}}{4}.
Subtraindo (valor em cima menos valor em baixo):
\left(\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\sqrt{3}}{4}\right)-\left(-\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\sqrt{3}}{4}\right)=\tfrac{2\pi}{3}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}

Exercícios relacionados