2,00 pontos
Calcule
, onde
é a curva
, de
até
, e
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde a curva
é a parte do círculo
com
, indo do ponto
até
. A função vetorial dada é
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A curva
está sobre o círculo unitário . - Os pontos extremos correspondem a ângulos
(ponto inferior) e (ponto superior) no círculo unitário, pois e . - A orientação da curva é do ponto com
para o ponto com , ou seja, aumentando o ângulo de a .
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a parametrização da curva e a definição de integral de linha para campos vetoriais. A fórmula que vamos aplicar é a seguinte:
Se
parametriza a curva para
em
, então
Explicando isso de forma simples:
descreve a posição ao longo da curva;
é o vetor tangente (direção e comprimento infinitesimal) e
é o campo avaliado naquele ponto. O produto escalar dá a contribuição do campo na direção do deslocamento, e integrar soma essas contribuições ao longo da curva.
Passo 3
Parametrização da curva
. Como
é a parte do círculo unitário com
entre os ângulos
e
, parametrizamos por
Derivando,
Os diferenciais são
e
.
Passo 4
Avaliar o campo
sobre a curva. Como sobre a curva temos
, ao substituir
obtemos
Expliquei: o denominador
vale
na circunferência unitária, então os termos simplificam.
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Substituindo os vetores:
Fazendo o produto escalar componente a componente:
Simplificamos essa expressão usando
:
Passo 6
Montar a integral definida em
:
Para integrar, usamos a identidade trigonométrica
Substituindo:
Portanto a integral fica
Passo 7
Calcular a primitiva e avaliar nos limites. Uma primitiva de
é
, porque
. Assim
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Subtraindo (valor em cima menos valor em baixo):