Ache o comprimento de arco do gráfico de
, de
a
Passo 1
O problema dá a função
no intervalo de
até
.
O que se pede: calcular o comprimento de arco do gráfico dessa função entre e
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão explícita de e os limites de integração
e
. Nada mais foi dado.
O que se pede: calcular o comprimento de arco do gráfico dessa função entre
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão explícita de
Passo 2
Lembrete prático (fórmula que vamos usar): o comprimento de arco de uma curva dada por
num intervalo
é
Aqui
é a derivada de
em relação a
. Explico rápido: o integrando vem da aproximação do arco por segmentos retos — a hipotenusa tem comprimento
e, ao dividir por
e passar ao limite, surge
.
Passo 3
Precisamos da derivada de
. Vou calcular passo a passo usando regras básicas:
- Regra da cadeia para
: . - Para
com , usamos que (posso mostrar rápido: e derivando dá ).
Agora aplicando:
Então, pela regra do logaritmo,
Passo 4
Simplificamos
usando identidades hiperbólicas. Lembrete das identidades usadas:
- .
-
.
Substituindo:
Agora uso a identidade
. Tomando
dá
. Portanto
Resumo: com contas cuidadosas chegamos a
.
Passo 5
Montamos a integral do comprimento usando a derivada encontrada:
Vou simplificar o integrando algebraicamente:
Usamos a identidade hiperbólica
, que implica
. Assim
Portanto o integrando é
.
Passo 6
Tratar da raiz:
. No nosso intervalo
temos
, logo
e
, então
. Logo
. Assim a integral fica
Passo 7
Integramos
. Observação:
. Portanto uma primitiva de
é
. Assim
Passo 8
Podemos juntar os logaritmos num único logaritmo de quociente:
Isso é o valor exato do comprimento de arco pedido. (Se quiser aproximar numericamente, basta calcular
e
e tomar o logaritmo.)