Ache o comprimento de arco do gráfico de
y=\ln (\operatorname{tanh} (x / 2)), de x=1 a x=2

Passo 1

O problema dá a função y=\ln\big(\operatorname{tanh}(x/2)\big) no intervalo de x=\;1 até x=\;2.
O que se pede: calcular o comprimento de arco do gráfico dessa função entre x=1 e x=2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão explícita de y(x) e os limites de integração x=1 e x=2. Nada mais foi dado.

Passo 2

Lembrete prático (fórmula que vamos usar): o comprimento de arco de uma curva dada por y=y(x) num intervalo [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(y'(x)\big)^{2}}\;dx.
Aqui y'(x) é a derivada de y em relação a x. Explico rápido: o integrando vem da aproximação do arco por segmentos retos — a hipotenusa tem comprimento \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} e, ao dividir por \Delta x e passar ao limite, surge \sqrt{1+(y')^2}.

Passo 3

Precisamos da derivada de y(x)=\ln\big(\operatorname{tanh}(x/2)\big). Vou calcular passo a passo usando regras básicas:
  • Regra da cadeia para \ln(u): \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}.
  • Para u(x)=\operatorname{tanh}(v(x)) com v(x)=x/2, usamos que \dfrac{d}{dv}\operatorname{tanh} v=\sech^{2}v (posso mostrar rápido: \operatorname{tanh} v=\operatorname{sinh} v/\operatorname{cosh} v e derivando dá \sech^{2}v).
    Agora aplicando:
u'(x)=\sech^{2}\big(v(x)\big)\cdot v'(x)=\sech^{2}\!\big(x/2\big)\cdot\frac{1}{2}.
Então, pela regra do logaritmo,
y'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\tfrac{1}{2}\sech^{2}\!\big(x/2\big)}{\operatorname{tanh}\!\big(x/2\big)}.

Passo 4

Simplificamos y'(x) usando identidades hiperbólicas. Lembrete das identidades usadas:
  • \sech v=\dfrac{1}{\operatorname{cosh} v}.
  • \operatorname{tanh} v=\dfrac{\operatorname{sinh} v}{\operatorname{cosh} v}.
    Substituindo:
y'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1/\operatorname{cosh}^{2}\!(x/2)}{\operatorname{sinh}(x/2)/\operatorname{cosh}(x/2)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}\!(x/2)}\cdot\frac{\operatorname{cosh}(x/2)}{\operatorname{sinh}(x/2)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\operatorname{sinh}(x/2)\operatorname{cosh}(x/2)}.
Agora uso a identidade \operatorname{sinh}(2u)=2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u. Tomando u=x/2 \operatorname{sinh} x=2\operatorname{sinh}(x/2)\operatorname{cosh}(x/2). Portanto
y'(x)=\frac{1}{2\operatorname{sinh}(x/2)\operatorname{cosh}(x/2)}=\frac{1}{\operatorname{sinh} x}.
Resumo: com contas cuidadosas chegamos a \;y'(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} x}.

Passo 5

Montamos a integral do comprimento usando a derivada encontrada:
L=\int_{1}^{2}\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{\operatorname{sinh} x}\right)^{2}}\;dx.
Vou simplificar o integrando algebraicamente:
1+\frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}x}=\frac{\operatorname{sinh}^{2}x+1}{\operatorname{sinh}^{2}x}.
Usamos a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1, que implica \operatorname{sinh}^{2}x+1=\operatorname{cosh}^{2}x. Assim
1+\frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}x}=\frac{\operatorname{cosh}^{2}x}{\operatorname{sinh}^{2}x}=\left(\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}\right)^{2}=\coth^{2}x.
Portanto o integrando é \sqrt{\coth^{2}x}.

Passo 6

Tratar da raiz: \sqrt{\coth^{2}x}=|\coth x|. No nosso intervalo x\in[1,2] temos x>0, logo \operatorname{sinh} x>0 e \operatorname{cosh} x>0, então \coth x=\dfrac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}>0. Logo |\coth x|=\coth x. Assim a integral fica
L=\int_{1}^{2}\coth x\;dx.

Passo 7

Integramos \coth x. Observação: \dfrac{d}{dx}\big(\ln(\operatorname{sinh} x)\big)=\dfrac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}=\coth x. Portanto uma primitiva de \coth x é \ln(\operatorname{sinh} x). Assim
L=\left[\ln\big(\operatorname{sinh} x\big)\right]_{1}^{2}=\ln\big(\operatorname{sinh} 2\big)-\ln\big(\operatorname{sinh} 1\big).

Passo 8

Podemos juntar os logaritmos num único logaritmo de quociente:
L=\ln\!\left(\dfrac{\operatorname{sinh} 2}{\operatorname{sinh} 1}\right).
Isso é o valor exato do comprimento de arco pedido. (Se quiser aproximar numericamente, basta calcular \operatorname{sinh} 2 e \operatorname{sinh} 1 e tomar o logaritmo.)

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{\operatorname{sinh} 2}{\operatorname{sinh} 1}\right)

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