Problema 1. 3,00 pontos
Considere o campo de vetores

\vec{F}(x, y, z)=\frac{k(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k})}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}
  1. Mostre que \vec{F} é conservativo no espaço. ( 1,00 ponto)
  2. Encontre uma função potencial, f(x, y, z), para \vec{F}. ( 1,00 ponto)
  3. Calcule o trabalho de \vec{F} ao longo da curva parametrizada \vec{\gamma}(t)=(\cos t, \sin t, t), t \in[0,2 \pi]. (0,50 pontos)
  4. Faça um esboço de \vec{F} restrito ao plano z=0, mantendo os vetores de campo constantes. (0,50 pontos)

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (resumido e claro):
\vec{F}(x,y,z)=\frac{k\,(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}
Perguntas:
  1. Mostrar que \vec{F} é conservativo no espaço.
  2. Encontrar uma função potencial f(x,y,z) para \vec{F}.
  3. Calcular o trabalho de \vec{F} ao longo da curva parametrizada \vec{\gamma}(t)=(\cos t,\sin t,t),\;t\in[0,2\pi].
  4. Fazer um esboço de \vec{F} restrito ao plano z=0, mantendo os vetores de campo constantes.
Observações extraídas do enunciado (úteis para a resolução):
  • \vec{F} está escrita em componentes: F_1=\dfrac{kx}{(x^2+y^2+z^2)^2}, F_2=\dfrac{ky}{(x^2+y^2+z^2)^2}, F_3=\dfrac{kz}{(x^2+y^2+z^2)^2}.
  • A função não está definida em (0,0,0) (denominador zero); portanto devemos trabalhar em \mathbb{R}^3\setminus\{0\}.
  • A curva \vec\gamma(t) não passa pela origem, logo está dentro do domínio onde \vec F é definida.

Passo 2

O que significa ser conservativo (explicação didática curta): um campo vetorial \vec{F} é conservativo se existe uma função escalar f tal que \nabla f=\vec{F}. Um critério prático: se \vec{F} é de classe C^1 em um domínio simplesmente conexo e \nabla\times\vec{F}=\vec{0}, então \vec{F} é conservativo. Aqui o domínio natural é \mathbb{R}^3\setminus\{0\}.
Cálculo do rotacional (vamos mostrar \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em \mathbb{R}^3\setminus\{0\}). Primeiro defina \varphi(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{-2}. Assim
F_1 = k x\varphi,\qquad F_2 = k y\varphi,\qquad F_3 = k z\varphi.
Precisamos calcular, por exemplo, a primeira componente do rotacional:
(\nabla\times\vec{F})_1=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}.
Calcule \partial\varphi/\partial y. Usando regra da cadeia:
\varphi=(r^2)^{-2}\quad\text{com}\quad r^2=x^2+y^2+z^2,
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=-2(r^2)^{-3}\cdot\frac{\partial(r^2)}{\partial y}=-2(r^2)^{-3}\cdot 2y=-4y(r^2)^{-3}.
Agora
\frac{\partial F_3}{\partial y}=k\frac{\partial}{\partial y}\big(z\varphi\big)=k\Big(z\frac{\partial\varphi}{\partial y}\Big)=k\big(z\cdot(-4y)(r^2)^{-3}\big)=-4k\,yz(r^2)^{-3}.
Analogamente,
\frac{\partial F_2}{\partial z}=k\frac{\partial}{\partial z}\big(y\varphi\big)=k\big(y\frac{\partial\varphi}{\partial z}\big)=k\big(y\cdot(-4z)(r^2)^{-3}\big)=-4k\,yz(r^2)^{-3}.
Portanto
(\nabla\times\vec{F})_1=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=0.
As outras componentes do rotacional são análogas; por simetria e cálculo idêntico obtemos
(\nabla\times\vec{F})_2=0,\qquad (\nabla\times\vec{F})_3=0.
Logo \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em \mathbb{R}^3\setminus\{0\}.
Agora sobre o domínio: \mathbb{R}^3\setminus\{0\} é simplesmente conexo (qualquer laço pode ser continuamente contraído numa esfera centrada na origem, e a esfera S^2 tem grupo fundamental trivial), portanto o critério vale. Conclusão: \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^3\setminus\{0\}. (Resumo: rotacional nulo em domínio simplesmente conexo \Rightarrow conservativo.)

Passo 3

Encontrando a função potencial f (método: integrar a componente F_1=\partial f/\partial x e ajustar constantes de função das outras variáveis):
Temos a equação
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{kx}{(x^2+y^2+z^2)^2}.
Integramos essa expressão em relação a x, tratando y,z como constantes. Uma boa ideia é perceber que a derivada de (x^2+y^2+z^2)^{-1} aparece aqui. Calcule:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\right) = -\frac{2x}{(x^2+y^2+z^2)^2}.
Multiplicando por -\dfrac{k}{2} obtemos exatamente \dfrac{kx}{(x^2+y^2+z^2)^2}. Assim uma primitiva em x é
f(x,y,z)=-\frac{k}{2(x^2+y^2+z^2)} + g(y,z),
onde g(y,z) é função que pode depender somente de y,z. Para determinar g diferenciamos essa expressão em relação a y e igualamos a F_2:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{k}{2(x^2+y^2+z^2)}\right)+\frac{\partial g}{\partial y}.
A derivada do primeiro termo em relação a y é
-\frac{k}{2}\cdot\left(-\frac{2y}{(x^2+y^2+z^2)^2}\right)=\frac{ky}{(x^2+y^2+z^2)^2}.
Como \dfrac{\partial f}{\partial y} deve ser igual a F_2=\dfrac{ky}{(x^2+y^2+z^2)^2}, temos \dfrac{\partial g}{\partial y}=0. Assim g não depende de y. Fazendo o mesmo com z obtemos \dfrac{\partial g}{\partial z}=0. Portanto g é constante global (que podemos tomar zero).
Conclusão (função potencial):
f(x,y,z)=-\frac{k}{2(x^2+y^2+z^2)} + C.
Normalmente tomamos C=0. Verificação rápida: calculando \nabla f voltamos a \vec{F}, conforme já usado acima.

Passo 4

Cálculo do trabalho ao longo de \vec{\gamma}(t)=(\cos t,\sin t,t),\;t\in[0,2\pi].
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos: se \vec{F}=\nabla f e a curva \gamma é regular e dentro do domínio, então
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r = f\big(\gamma(2\pi)\big)-f\big(\gamma(0)\big).
Calcule f nos extremos:
\gamma(0)=(1,0,0)\quad\Rightarrow\quad f(\gamma(0))=-\frac{k}{2(1^2+0^2+0^2)}=-\frac{k}{2}.
\gamma(2\pi)=(1,0,2\pi)\quad\Rightarrow\quad f(\gamma(2\pi))=-\frac{k}{2(1^2+0^2+(2\pi)^2)}=-\frac{k}{2(1+4\pi^2)}.
Subtraindo:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r = -\frac{k}{2(1+4\pi^2)} -\Big(-\frac{k}{2}\Big) = \frac{k}{2}\left(1-\frac{1}{1+4\pi^2}\right) = \frac{k}{2}\cdot\frac{4\pi^2}{1+4\pi^2} = \frac{2k\pi^2}{1+4\pi^2}.

Passo 5

Esboço de \vec{F} no plano z=0 (explicação e exemplos numéricos para desenhar à mão, mantendo vetores “constantes” no sentido de escala consistente):
Forma restrita a z=0:
\vec{F}(x,y,0)=\frac{k\,(x,y,0)}{(x^2+y^2)^2}.
Isto significa:
  • Direção: vetores apontam radialmente para fora do origem se k>0, e radialmente para dentro se k<0. Em cada ponto a direção é a do raio que une a origem ao ponto (x,y).
  • Módulo: se \rho=\sqrt{x^2+y^2} então
\lVert\vec{F}\rVert = \frac{|k|\,\rho}{\rho^4}=\frac{|k|}{\rho^3}.
Portanto os vetores são muito grandes perto da origem (singularidade em \rho=0) e decaem rapidamente quando \rho aumenta (decrescem como 1/\rho^{3}).
Exemplos numéricos (úteis para desenhar com escala fixa):
  • Em (1,0): \vec{F}=(k,0,0).
  • Em (2,0): \vec{F}=\dfrac{k(2,0,0)}{(4)^2}=\dfrac{k}{8}(1,0,0) — bem menor que em (1,0).
  • Em (1/2,0): \vec{F}=\dfrac{k(1/2,0,0)}{(1/4)^2}=\dfrac{k(1/2,0,0)}{1/16}=(8k,0,0) — muito maior (mostra a singularidade).
Instrução para esboço prático: desenhe várias circunferências concêntricas (raios \rho diferentes). Em cada ponto sobre uma circunferência desenhe uma seta radial (para fora se k>0), com comprimento proporcional a 1/\rho^3. Não esqueça de indicar que no centro ( \rho=0) o campo é indefinido (seta/flecha muito grande ou símbolo de singularidade).

Resposta

  1. \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^3\setminus\{0\} (pois \nabla\times\vec{F}=\vec{0} e o domínio é simplesmente conexo).
  2. f(x,y,z)=-\dfrac{k}{2(x^2+y^2+z^2)}+C (tomando C=0 dá uma potencial conveniente).
  3. \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r=\frac{2k\pi^2}{1+4\pi^2}.
  4. No plano z=0: vetores radiais (para fora se k>0, para dentro se k<0), com módulo \lVert\vec{F}\rVert=\dfrac{|k|}{\rho^{3}} onde \rho=\sqrt{x^2+y^2}; muito grandes perto da origem e que decaem rapidamente com a distância.

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