Problema 1. 3,00 pontos
Considere o campo de vetores
- Mostre que
é conservativo no espaço. ( 1,00 ponto)
- Encontre uma função potencial,
, para
. ( 1,00 ponto)
- Calcule o trabalho de
ao longo da curva parametrizada
. (0,50 pontos)
- Faça um esboço de
restrito ao plano
, mantendo os vetores de campo constantes. (0,50 pontos)
Considere o campo de vetores
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (resumido e claro):
Perguntas:
- Mostrar que
é conservativo no espaço. - Encontrar uma função potencial
para . - Calcular o trabalho de
ao longo da curva parametrizada . - Fazer um esboço de
restrito ao plano , mantendo os vetores de campo constantes.
Observações extraídas do enunciado (úteis para a resolução):
-
está escrita em componentes: , , . - A função não está definida em
(denominador zero); portanto devemos trabalhar em . - A curva
não passa pela origem, logo está dentro do domínio onde é definida.
Passo 2
O que significa ser conservativo (explicação didática curta): um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Um critério prático: se
é de classe
em um domínio simplesmente conexo e
, então
é conservativo. Aqui o domínio natural é
.
Cálculo do rotacional (vamos mostrar
em
). Primeiro defina
. Assim
Precisamos calcular, por exemplo, a primeira componente do rotacional:
Calcule
. Usando regra da cadeia:
Agora
Analogamente,
Portanto
As outras componentes do rotacional são análogas; por simetria e cálculo idêntico obtemos
Logo
em
.
Agora sobre o domínio:
é simplesmente conexo (qualquer laço pode ser continuamente contraído numa esfera centrada na origem, e a esfera
tem grupo fundamental trivial), portanto o critério vale. Conclusão:
é conservativo em
. (Resumo: rotacional nulo em domínio simplesmente conexo
conservativo.)
Passo 3
Encontrando a função potencial
(método: integrar a componente
e ajustar constantes de função das outras variáveis):
Temos a equação
Integramos essa expressão em relação a
, tratando
como constantes. Uma boa ideia é perceber que a derivada de
aparece aqui. Calcule:
Multiplicando por
obtemos exatamente
. Assim uma primitiva em
é
onde
é função que pode depender somente de
. Para determinar
diferenciamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
A derivada do primeiro termo em relação a
é
Como
deve ser igual a
, temos
. Assim
não depende de
. Fazendo o mesmo com
obtemos
. Portanto
é constante global (que podemos tomar zero).
Conclusão (função potencial):
Normalmente tomamos
. Verificação rápida: calculando
voltamos a
, conforme já usado acima.
Passo 4
Cálculo do trabalho ao longo de
.
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos: se
e a curva
é regular e dentro do domínio, então
Calcule
nos extremos:
Subtraindo:
Passo 5
Esboço de
no plano
(explicação e exemplos numéricos para desenhar à mão, mantendo vetores “constantes” no sentido de escala consistente):
Forma restrita a
:
Isto significa:
- Direção: vetores apontam radialmente para fora do origem se
, e radialmente para dentro se . Em cada ponto a direção é a do raio que une a origem ao ponto . - Módulo: se
então
Portanto os vetores são muito grandes perto da origem (singularidade em
) e decaem rapidamente quando
aumenta (decrescem como
).
Exemplos numéricos (úteis para desenhar com escala fixa):
- Em
: . - Em
: — bem menor que em . - Em
: — muito maior (mostra a singularidade).
Instrução para esboço prático: desenhe várias circunferências concêntricas (raios
diferentes). Em cada ponto sobre uma circunferência desenhe uma seta radial (para fora se
), com comprimento proporcional a
. Não esqueça de indicar que no centro (
) o campo é indefinido (seta/flecha muito grande ou símbolo de singularidade).
Resposta
-
é conservativo em (pois e o domínio é simplesmente conexo). -
(tomando dá uma potencial conveniente). -
- No plano
: vetores radiais (para fora se , para dentro se ), com módulo onde ; muito grandes perto da origem e que decaem rapidamente com a distância.