Problema 4, 2,50 pontos
G(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}+2 x\right)
Considere a trajetoria \gamma(t)=(2 \sin t, 2 \cos t), t \in[0, \pi]. Calcule \int_{r} \vec{k} \cdot \vec{d} l, onde
\vec{K}(x, y)=\left(x^{2} \ln \left(x^{2}+1\right)+6 x y^{2}-y^{2}, \frac{1}{y+3}+[6 y+1] x^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido, passo a passo):
  • Vetor campo \vec{K}(x,y)=\big(P(x,y),\,Q(x,y)\big) com P(x,y)=x^{2}\ln\!\big(x^{2}+1\big)+6xy^{2}-y^{2},
Q(x,y)=\frac{1}{y+3}+(6y+1)x^{2}.
  • Trajetória \gamma(t)=\big(2\sin t,\;2\cos t\big), t\in[0,\pi]. Vou chamar a curva dada por r (ou seja, r=\gamma).
  • Observações sobre a curva \gamma:
    • No instante t=0 temos \gamma(0)=(0,2).
    • No instante t=\pi temos \gamma(\pi)=(0,-2).
    • A curva é o semicírculo de raio 2 no semiplano x\ge 0, indo do ponto (0,2) para (0,-2) pela direita.
  • Pedido: calcular \displaystyle \int_{r}\vec{K}\cdot d\vec{l}, isto é, a integral de linha de \vec{K} ao longo da curva \gamma.

Passo 2

Escolha do método (e por quê):
  • Primeiro verifico se \vec{K} é campo conservativo (isso pode tornar a integral dependente só dos extremos). Para isso comparo \partial P/\partial y com \partial Q/\partial x.
  • Se não for conservativo, uma alternativa prática é fechar a curva por um segmento reto e aplicar o Teorema de Green, transformando a integral de linha fechada numa integral de área. Aqui isso é conveniente porque a curva \gamma é um semicírculo; basta juntar o segmento L que liga (0,-2) a (0,2) pelo eixo x=0 e aplicar Green sobre a região semicircular R.

Passo 3

Calculo de \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x:
  • Derivando P em relação a y: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\ln(x^{2}+1)\big)+\frac{\partial}{\partial y}(6xy^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}).O primeiro termo não depende de y, então é 0. Os outros dão \frac{\partial P}{\partial y}=12xy-2y.
  • Derivando Q em relação a x: \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{y+3}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\big((6y+1)x^{2}\big).O primeiro termo é 0. O segundo é 2x(6y+1), portanto \frac{\partial Q}{\partial x}=12xy+2x.

Passo 4

Verificação se o campo é conservativo e formação do integrando para Green:
  • Como \frac{\partial Q}{\partial x}=12xy+2x \quad\text{e}\quad \frac{\partial P}{\partial y}=12xy-2y,os dois não são iguais; logo \vec{K} não é conservativo na região considerada.
  • Para usar Green, calculo a diferença \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(12xy+2x)-(12xy-2y)=2x+2y=2(x+y).

Passo 5

Fechar a curva e aplicar o Teorema de Green:
  • Defino a curva fechada C formada por \gamma (o semicírculo da direita, indo de (0,2) a (0,-2)) seguida pelo segmento L que vai de (0,-2) a (0,2) ao longo do eixo x=0. Assim C=\gamma+L.
  • Note que a orientação natural de \gamma (do enunciado, t de 0 a \pi) vai do topo ao fundo pela direita — isto é a orientação horária (clockwise) da fronteira da região semicircular R. O Teorema de Green na forma padrão usa orientação anti-horária (counterclockwise).
  • Assim o Teorema de Green dá \oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{R}\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)\,dA,quando C for orientada anti-horária. Como o nosso C (com a ordem \gamma então L) é horário, teremos \int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy+\int_{L}P\,dx+Q\,dy=\,-\iint_{R}2(x+y)\,dA.Portanto \int_{\gamma}\vec{K}\cdot d\vec{l}=-\iint_{R}2(x+y)\,dA-\int_{L}\vec{K}\cdot d\vec{l}.

Passo 6

Cálculo do integral de área \iint_{R}2(x+y)\,dA:
  • A região R é o semicírculo de raio 2 com x\ge 0. Em coordenadas polares: x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,com r\in[0,2] e \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (essas são as direções que cobrem o semicírculo à direita).
  • Então \iint_{R}2(x+y)\,dA=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{2}\big(r\cos\theta+r\sin\theta\big)r\,dr\,d\theta =2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{2}r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.
  • Calculo a integral em r: \int_{0}^{2}r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}.Assim \iint_{R}2(x+y)\,dA=2\cdot\frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta =\frac{16}{3}\Big(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\Big).
  • Avaliando as integrais em \theta: \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=[\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}=1-(-1)=2,
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=[-\cos\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}=-(0)+0=0.
Portanto
\iint_{R}2(x+y)\,dA=\frac{16}{3}\cdot 2=\frac{32}{3}.

Passo 7

Cálculo da integral sobre o segmento L (eixo x=0 de (0,-2) a (0,2)):
  • No segmento L temos x=0 e y varia de -2 a 2. Sobre x=0, P(0,y)=-y^{2},\qquad Q(0,y)=\frac{1}{y+3}.
  • O elemento de linha é d\vec{l}=(dx,dy)=(0,dy), logo \vec{K}\cdot d\vec{l}=P\,dx+Q\,dy=Q\,dy=\frac{1}{y+3}\,dy.
  • Assim \int_{L}\vec{K}\cdot d\vec{l}=\int_{y=-2}^{2}\frac{1}{y+3}\,dy=\left[\ln|y+3|\right]_{-2}^{2}=\ln 5-\ln 1=\ln 5.

Passo 8

Combinação final e resultado:
  • Recordando a relação do Passo 5: \int_{\gamma}\vec{K}\cdot d\vec{l}=-\iint_{R}2(x+y)\,dA-\int_{L}\vec{K}\cdot d\vec{l},substituo os valores obtidos: \int_{\gamma}\vec{K}\cdot d\vec{l}=-\frac{32}{3}-\ln 5.

Resposta

-\dfrac{32}{3}-\ln 5

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