Problema 4, 2,50 pontos
Considere a trajetoria
. Calcule
, onde
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido, passo a passo):
- Vetor campo
com
- Trajetória
, . Vou chamar a curva dada por (ou seja, ). - Observações sobre a curva
: - No instante
temos . - No instante
temos . - A curva é o semicírculo de raio
no semiplano , indo do ponto para pela direita.
- No instante
- Pedido: calcular
, isto é, a integral de linha de ao longo da curva .
Passo 2
Escolha do método (e por quê):
- Primeiro verifico se
é campo conservativo (isso pode tornar a integral dependente só dos extremos). Para isso comparo com . - Se não for conservativo, uma alternativa prática é fechar a curva por um segmento reto e aplicar o Teorema de Green, transformando a integral de linha fechada numa integral de área. Aqui isso é conveniente porque a curva
é um semicírculo; basta juntar o segmento que liga a pelo eixo e aplicar Green sobre a região semicircular .
Passo 3
Calculo de
e
:
- Derivando
em relação a : O primeiro termo não depende de , então é . Os outros dão - Derivando
em relação a : O primeiro termo é . O segundo é , portanto
Passo 4
Verificação se o campo é conservativo e formação do integrando para Green:
- Como
os dois não são iguais; logo não é conservativo na região considerada. - Para usar Green, calculo a diferença
Passo 5
Fechar a curva e aplicar o Teorema de Green:
- Defino a curva fechada
formada por (o semicírculo da direita, indo de a ) seguida pelo segmento que vai de a ao longo do eixo . Assim . - Note que a orientação natural de
(do enunciado, de a ) vai do topo ao fundo pela direita — isto é a orientação horária (clockwise) da fronteira da região semicircular . O Teorema de Green na forma padrão usa orientação anti-horária (counterclockwise). - Assim o Teorema de Green dá
quando for orientada anti-horária. Como o nosso (com a ordem então ) é horário, teremos Portanto
Passo 6
Cálculo do integral de área
:
- A região
é o semicírculo de raio com . Em coordenadas polares: com e (essas são as direções que cobrem o semicírculo à direita). - Então
- Calculo a integral em
: Assim - Avaliando as integrais em
:
Portanto
Passo 7
Cálculo da integral sobre o segmento
(eixo
de
a
):
- No segmento
temos e varia de a . Sobre , - O elemento de linha é
, logo - Assim
Passo 8
Combinação final e resultado:
- Recordando a relação do Passo 5:
substituo os valores obtidos: