(2,00 pontos) Considere os pontos
e
. A reta
passa por esses dois pontos.
(a) Determine as equações simétricas da reta
com base no ponto
.
(b) A partir das equações simétricas obtidas no item (a), deduza as equações reduzidas da reta
, escrevendo
e
em função de
(c) Repita o processo dos itens (a) e (b), mas agora utilizando o ponto
como origem da equação simétrica.
(d) Verifique se as equações reduzidas obtidas em (b) e (c) são equivalentes
(a) Determine as equações simétricas da reta
(b) A partir das equações simétricas obtidas no item (a), deduza as equações reduzidas da reta
(c) Repita o processo dos itens (a) e (b), mas agora utilizando o ponto
(d) Verifique se as equações reduzidas obtidas em (b) e (c) são equivalentes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar as equações de uma reta que passa por dois pontos no espaço tridimensional. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas e simétricas de retas. Além disso, vamos transformar essas equações em formas reduzidas, expressando algumas coordenadas em função de outras.
Passo 2
Item (a): Determinar as equações simétricas da reta
com base no ponto
.
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as equações simétricas de uma reta que passa por dois pontos, precisamos determinar o vetor diretor da reta. Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas dos pontos
e
.
Calculando o vetor diretor
:
Agora, as equações simétricas da reta são dadas por:
onde
é um ponto da reta (nesse caso,
) e
são as componentes do vetor diretor.
Substituindo os valores:
Passo 3
Item (b): Deduzir as equações reduzidas da reta
, escrevendo
e
em função de
.
As equações reduzidas da reta expressam
e
em termos de
. Para isso, vamos usar as equações simétricas que encontramos no item (a).
A equação simétrica é:
Vamos igualar cada fração a um parâmetro
:
Agora, expressamos
e
em termos de
. Sabemos que
, então substituímos
:
Para
:
Para
:
Portanto, as equações reduzidas são:
Passo 4
Item (c): Repetir o processo dos itens (a) e (b), mas agora utilizando o ponto
como origem da equação simétrica.
Vamos começar determinando as equações simétricas da reta
com base no ponto
.
Já sabemos o vetor diretor
.
Usando o ponto
, as equações simétricas ficam:
Agora, vamos deduzir as equações reduzidas, escrevendo
e
em função de
.
Iguais as frações a um parâmetro
:
Expressando
e
em termos de
, temos
:
Para
:
Para
:
As equações reduzidas são iguais às obtidas no item (b):
Passo 5
Item (d): Verificar se as equações reduzidas obtidas em (b) e (c) são equivalentes.
Observando as equações reduzidas obtidas nos itens (b) e (c):
De (b):
De (c):
Como ambas as formas reduzidas são idênticas, podemos concluir que elas são equivalentes.
Resposta
As equações reduzidas da reta
obtidas nos itens (b) e (c) são equivalentes: