(2,00 pontos) Considere os pontos A(1,2,-1) e B(5,0,3). A reta r passa por esses dois pontos.
(a) Determine as equações simétricas da reta r com base no ponto A.
(b) A partir das equações simétricas obtidas no item (a), deduza as equações reduzidas da reta r, escrevendo y e z em função de x
(c) Repita o processo dos itens (a) e (b), mas agora utilizando o ponto B como origem da equação simétrica.
(d) Verifique se as equações reduzidas obtidas em (b) e (c) são equivalentes

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar as equações de uma reta que passa por dois pontos no espaço tridimensional. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas e simétricas de retas. Além disso, vamos transformar essas equações em formas reduzidas, expressando algumas coordenadas em função de outras.

Passo 2

Item (a): Determinar as equações simétricas da reta r com base no ponto A(1,2,-1) .
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as equações simétricas de uma reta que passa por dois pontos, precisamos determinar o vetor diretor da reta. Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas dos pontos B e A .
Calculando o vetor diretor AB :
AB = (5-1, 0-2, 3-(-1)) = (4, -2, 4)
Agora, as equações simétricas da reta são dadas por:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
onde (x0, y0, z0) é um ponto da reta (nesse caso, A ) e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.
Substituindo os valores:
x - 14 = y - 2-2 = z + 14

Passo 3

Item (b): Deduzir as equações reduzidas da reta r , escrevendo y e z em função de x .
As equações reduzidas da reta expressam y e z em termos de x . Para isso, vamos usar as equações simétricas que encontramos no item (a).
A equação simétrica é:
x - 14 = y - 2-2 = z + 14
Vamos igualar cada fração a um parâmetro t :
x - 14 = t Rightarrow x = 4t + 1
y - 2-2 = t Rightarrow y = -2t + 2
z + 14 = t Rightarrow z = 4t - 1
Agora, expressamos y e z em termos de x . Sabemos que t = x - 14 , então substituímos t :
Para y :
y = -2( x - 14 ) + 2 = -x - 12 + 2 = -x2 + 12 + 2 = -x2 + 52
Para z :
z = 4( x - 14 ) - 1 = (x - 1) - 1 = x - 2
Portanto, as equações reduzidas são:
y = -12x + 52
z = x - 2

Passo 4

Item (c): Repetir o processo dos itens (a) e (b), mas agora utilizando o ponto B(5,0,3) como origem da equação simétrica.
Vamos começar determinando as equações simétricas da reta r com base no ponto B .
Já sabemos o vetor diretor AB = (4, -2, 4) .
Usando o ponto B(5,0,3) , as equações simétricas ficam:
x - 54 = y - 0-2 = z - 34
Agora, vamos deduzir as equações reduzidas, escrevendo y e z em função de x .
Iguais as frações a um parâmetro s :
x - 54 = s Rightarrow x = 4s + 5
y-2 = s Rightarrow y = -2s
z - 34 = s Rightarrow z = 4s + 3
Expressando y e z em termos de x , temos s = x - 54 :
Para y :
y = -2( x - 54 ) = -x - 52 = -x2 + 52
Para z :
z = 4( x - 54 ) + 3 = (x - 5) + 3 = x - 2
As equações reduzidas são iguais às obtidas no item (b):
y = -12x + 52
z = x - 2

Passo 5

Item (d): Verificar se as equações reduzidas obtidas em (b) e (c) são equivalentes.
Observando as equações reduzidas obtidas nos itens (b) e (c):
De (b):
y = -12x + 52
z = x - 2
De (c):
y = -12x + 52
z = x - 2
Como ambas as formas reduzidas são idênticas, podemos concluir que elas são equivalentes.

Resposta

As equações reduzidas da reta r obtidas nos itens (b) e (c) são equivalentes:
y = -12x + 52
z = x - 2

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