(2,00 pontos) Considere a reta r que passa pelo ponto A(1,4,-2) e é paralela ao vetor v=(2,-1,3).
(a) Determine as equações paramétricas da reta r.
(b) Encontre as coordenadas do ponto P da reta correspondente ao parâmetro t=-2.
(c) Verifique se o ponto Q=(5,2,4) pertence à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional. A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(1,4,-2) e é paralela ao vetor v = (2,-1,3) . Depois, vamos determinar as coordenadas de um ponto específico na reta para t = -2 e verificar se outro ponto dado pertence a essa reta.

Passo 2

Parte (a): Determinar as equações paramétricas da reta [r).
Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde é o vetor diretor da reta.
No nosso caso, o ponto é e o vetor é o vetor diretor .
Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Parte (b): Encontrar as coordenadas do ponto [P) na reta para .
Agora, vamos usar as equações paramétricas que encontramos para calcular as coordenadas de quando .
Basta substituir por em cada equação:
Então, as coordenadas de .

Passo 4

Parte (c): Verificar se o ponto Q = (5,2,4) pertence à reta r .
Para verificar se Q está na reta r , precisamos ver se existe algum valor de t que satisfaz as três equações paramétricas ao mesmo tempo.
Vamos igualar as coordenadas de Q às equações paramétricas:
  1. 5 = 1 + 2t
    Solvendo para t : 2t = 5 - 1 Rightarrow t = 2
  2. 2 = 4 - t
    Solvendo para t : t = 4 - 2 = 2
  3. 4 = -2 + 3t
    Solvendo para t : 3t = 4 + 2 Rightarrow t = 2
Como o valor de t é o mesmo nas três equações ( t = 2 ), isso significa que o ponto Q realmente pertence à reta r .

Resposta

(a) As equações paramétricas da reta [r) são:
(b) As coordenadas do ponto são .
(c) O ponto pertence à reta .

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