(2,00 pontos) Considere a reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor .
(a) Determine as equações paramétricas da reta .
(b) Encontre as coordenadas do ponto da reta correspondente ao parâmetro .
(c) Verifique se o ponto pertence à reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional. A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Depois, vamos determinar as coordenadas de um ponto específico na reta para e verificar se outro ponto dado pertence a essa reta.
Passo 2
Parte (a): Determinar as equações paramétricas da reta [r).
Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde é o vetor diretor da reta.
No nosso caso, o ponto é e o vetor é o vetor diretor .
Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Parte (b): Encontrar as coordenadas do ponto [P) na reta para .
Agora, vamos usar as equações paramétricas que encontramos para calcular as coordenadas de quando .
Basta substituir por em cada equação:
Então, as coordenadas de .
Passo 4
Parte (c): Verificar se o ponto Q = (5,2,4) pertence à reta r .
Para verificar se Q está na reta r , precisamos ver se existe algum valor de t que satisfaz as três equações paramétricas ao mesmo tempo.
Vamos igualar as coordenadas de Q às equações paramétricas:
5 = 1 + 2t
Solvendo para t : 2t = 5 - 1 Rightarrow t = 2
2 = 4 - t
Solvendo para t : t = 4 - 2 = 2
4 = -2 + 3t
Solvendo para t : 3t = 4 + 2 Rightarrow t = 2
Como o valor de t é o mesmo nas três equações ( t = 2 ), isso significa que o ponto Q realmente pertence à reta r .