Calcule o produto vetorial entre os vetores u=(1,0,3) e v=(2,-1,3).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Calcular o produto vetorial entre os vetores u=(1,0,3) e v=(2,-1,3).”
Conteúdo: produto vetorial em R^3.
O que precisamos:
  • Saber que o produto vetorial utimesv dá um vetor perpendicular a u e v.
  • Saber usar determinantes para calcular as coordenadas.

Passo 2

Definição do produto vetorial:
Para u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3),
utimesv = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 ,
onde i,j,k são os vetores canônicos.
Esse determinante dá três componentes: uma para i, outra pra j e outra pra k.

Passo 3

Vamos montar o determinante com u=(1,0,3) e v=(2,-1,3):
utimesv = i & j & k 1 & 0 & 3 2 & -1 & 3
Para cada componente, usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:

Passo 4

Calcular cada coordenada:
  1. Componente em i:
u2 v3 - u3 v2 = 0cdot3 - 3cdot(-1) = 0 + 3 = 3
  1. Componente em j:
u1 v3 - u3 v1 = 1cdot3 - 3cdot2 = 3 - 6 = -3
Porém, no determinante ela vem com sinal trocado (menos):
-(-3)) = +3
3) Componente em k:
u1 v2 - u2 v1 = 1cdot(-1) - 0cdot2 = -1 - 0 = -1

Passo 5

Juntando as três componentes, o vetor resultante é:
utimesv = (3,;3,;-1)

Resposta

utimesv = (3,,3,,-1).

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