(2.00 pontos) Dado um tetraedro de vértices , explique como determinar se ele é degenerado utilizando o produto misto.
Passo 1
O enunciado pede que, dado um tetraedro de vértices , a gente determine se ele é degenerado. Em geometria vetorial, um tetraedro é degenerado exatamente quando seus quatro pontos são coplanares. Para verificar coplanaridade usamos o produto misto de três vetores.
Passo 2
Escolhemos como base o vértice e definimos os vetores
Esses vetores partem de em direção aos outros três vértices.
Passo 3
Sabemos que o volume do paralelepípedo gerado por é precisamente o valor absoluto do produto misto
Como o tetraedro ocupa um sexto desse paralelepípedo, o volume do tetraedro é
Passo 4
O tetraedro é degenerado se e somente se o volume V for zero. Logo, o critério final é
V=0 Long<=ftrightarrow l(ABtimesACr)cdotAD = 0
Isso significa que AB,AC,AD são coplanares, ou seja, A,B,C,D estão no mesmo plano.