(2.00 pontos) Dado um tetraedro de vértices A, B, C, D, explique como determinar se ele é degenerado utilizando o produto misto.

Passo 1

O enunciado pede que, dado um tetraedro de vértices A,B,C,D, a gente determine se ele é degenerado. Em geometria vetorial, um tetraedro é degenerado exatamente quando seus quatro pontos são coplanares. Para verificar coplanaridade usamos o produto misto de três vetores.

Passo 2

Escolhemos como base o vértice A e definimos os vetores
AB = B - A, AC = C - A, AD = D - A
Esses vetores partem de A em direção aos outros três vértices.

Passo 3

Sabemos que o volume do paralelepípedo gerado por AB,AC,AD é precisamente o valor absoluto do produto misto
l(ABtimesACr)cdotAD
Como o tetraedro ocupa um sexto desse paralelepípedo, o volume V do tetraedro é
V = 16l|l(ABtimesACr)cdotADr|

Passo 4

O tetraedro é degenerado se e somente se o volume V for zero. Logo, o critério final é
V=0 Long<=ftrightarrow l(ABtimesACr)cdotAD = 0
Isso significa que AB,AC,AD são coplanares, ou seja, A,B,C,D estão no mesmo plano.

Resposta

O tetraedro é degenerado se, e somente se,
(ABtimesAC)cdotAD = 0

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