Definição:
O produto de Kronecker de uma matriz
A de dimensão
m times n com uma matriz
B de dimensão
p times q , denotado por
A otimes B , é uma matriz de dimensão
m p times n q definida por blocos como:
A otimes B=(cccc a11 B & a12 B & cdots & a1 n B a21 B & a22 B & cdots & a2 n B vdots & vdots & ddots & vdots am 1 B & am 2 B & cdots & am n B )
onde
ai j são os elementos da matriz
A .
Exemplo:
Sejam as matrizes:
e
Aqui,
A tem dimensão
m=2 times n=2 e
B tem dimensão
p=2 times q=2 . O produto de Kronecker
A otimes B terá dimensão
(2 times 2) times(2 times 2)=4 times 4 .
Aplicando a definição:
A otimes B=(cc 1 cdot(cc 0 & 1 -1 & 2 ) & 2 cdot(cc 0 & 1 -1 & 2 ) 3 cdot(cc 0 & 1 -1 & 2 ) & 4 cdot(cc 0 & 1 -1 & 2 ) )
Multiplicando os escalares pelos blocos de matrizes:
A otimes B=(cc (cc 0 & 1 -1 & 2 ) & (cc 0 & 2 -2 & 4 ) (cc 0 & 3 -3 & 6 ) & (cc 0 & 4 -4 & 8 ) )
Finalmente, expandindo para formar a matriz
4 times 4 :
A otimes B=(cccc 0 & 1 & 0 & 2 -1 & 2 & -2 & 4 0 & 3 & 0 & 4 -3 & 6 & -4 & 8 )
O exemplo acima ilustra como o produto de Kronecker combina os elementos de duas matrizes para formar uma matriz maior com uma estrutura de blocos bem definida.
a) Considere a coluna valor na tabela acima como uma matriz coluna. Leia com atenção a definição e o exemplo de produto de Kronecker acima. Agora obtenha a matriz
X=I3 otimes 14 times 1 , em que
14 times 1 é a matriz coluna de uns de dimensão
4 times 1 . Note que a matrix
X é o resultado
do produto de Kronecker de uma matriz identidade de ordem três e uma matriz coluna de uns de dimensão
4 times 1 .
Y=(l 1.5 2.5 1.0 3.0 2.5 3.5 4.5 1.5 5.5 6.5 7.5 4.5 )
b) Agora obtenha
X^top X e
X^top Y .
c) Resolva usando o método de Gauss-Jordan o sistema linear
(X^top X) beta=X^top Y em que
beta=(l beta1 beta2 beta3 beta4 )
Podemos afirmar que os valores da variáveis
betai, i=A, B, C , obtidos da resolução do sistema, correspondem aos valores médios observados desses produtos?