Definição:
O produto de Kronecker de uma matriz A de dimensão m times n com uma matriz B de dimensão p times q, denotado por A otimes B, é uma matriz de dimensão m p times n q definida por blocos como:
A otimes B=(cccc a11 B & a12 B & cdots & a1 n B a21 B & a22 B & cdots & a2 n B vdots & vdots & ddots & vdots am 1 B & am 2 B & cdots & am n B )
onde ai j são os elementos da matriz A.
Exemplo:
Sejam as matrizes:
A=(ll 1 & 2 3 & 4 )
e
B=(cc 0 & 1 -1 & 2 )
Aqui, A tem dimensão m=2 times n=2 e B tem dimensão p=2 times q=2. O produto de Kronecker A otimes B terá dimensão (2 times 2) times(2 times 2)=4 times 4.
Aplicando a definição:
A otimes B=(cc 1 cdot(cc 0 & 1 -1 & 2 ) & 2 cdot(cc 0 & 1 -1 & 2 ) 3 cdot(cc 0 & 1 -1 & 2 ) & 4 cdot(cc 0 & 1 -1 & 2 ) )
Multiplicando os escalares pelos blocos de matrizes:
A otimes B=(cc (cc 0 & 1 -1 & 2 ) & (cc 0 & 2 -2 & 4 ) (cc 0 & 3 -3 & 6 ) & (cc 0 & 4 -4 & 8 ) )
Finalmente, expandindo para formar a matriz 4 times 4 :
A otimes B=(cccc 0 & 1 & 0 & 2 -1 & 2 & -2 & 4 0 & 3 & 0 & 4 -3 & 6 & -4 & 8 )
O exemplo acima ilustra como o produto de Kronecker combina os elementos de duas matrizes para formar uma matriz maior com uma estrutura de blocos bem definida.
a) Considere a coluna valor na tabela acima como uma matriz coluna. Leia com atenção a definição e o exemplo de produto de Kronecker acima. Agora obtenha a matriz X=I3 otimes 14 times 1, em que 14 times 1 é a matriz coluna de uns de dimensão 4 times 1. Note que a matrix X é o resultado
do produto de Kronecker de uma matriz identidade de ordem três e uma matriz coluna de uns de dimensão 4 times 1.
Y=(l 1.5 2.5 1.0 3.0 2.5 3.5 4.5 1.5 5.5 6.5 7.5 4.5 )
b) Agora obtenha X^top X e X^top Y.
c) Resolva usando o método de Gauss-Jordan o sistema linear (X^top X) beta=X^top Y em que
beta=(l beta1 beta2 beta3 beta4 )
Podemos afirmar que os valores da variáveis betai, i=A, B, C, obtidos da resolução do sistema, correspondem aos valores médios observados desses produtos?

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o produto de Kronecker para construir
X= I3otimes14times1, onde 14times1 é a coluna de uns de dimensão 4times1, e depois calcule X^top X, X^top Y e resolva o sistema
l( X^top Xr)boldsymbolbeta= X^top Y
pelo método de Gauss–Jordan. Por fim, verificar se os betai correspondem às médias dos blocos de Y.

Passo 2

Como I3=(aij) tem aii=1 e aij=0 para ineq j, o produto de Kronecker gera três blocos de 4times1. Expandindo em forma de matriz de indicadores de grupo,
X = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 ,
isto é, as linhas 1 a 4 indicam o primeiro grupo, as 5 a 8 o segundo, e as 9 a 12 o terceiro.

Passo 3

Cada coluna de X tem exatamente quatro entradas iguais a 1 e as demais 0. Logo
X^top X = 4 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 4 =4, I3

Passo 4

Para X^top Y somamos os blocos de quatro dos valores de Y:
  • componente 1: 1,5+2,5+1,0+3,0=8,0,
  • componente 2: 2,5+3,5+4,5+1,5=12,0,
  • componente 3: 5,5+6,5+7,5+4,5=24,0.
    Portanto
X^top Y =8,012,024,0

Passo 5

O sistema é
4, I3,boldsymbolbeta =8,012,024,0,
logo por Gauss–Jordan (ou invertendo a diagonal) vem
boldsymbolbeta =148,012,024,0 =2,03,06,0
Cada betai é exatamente a média aritmética dos quatro valores de Y no respectivo bloco.

Resposta

X= 1&0&01&0&01&0&01&0&0 0&1&00&1&00&1&00&1&0 0&0&10&0&10&0&10&0&1 , X^top X=4, I3, X^top Y=8,012,024,0, boldsymbolbeta=2,03,06,0
Sim, cada betai coincide com a média dos quatro valores observados no bloco i de Y.

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