O produto de Kronecker de uma matriz de dimensão com uma matriz de dimensão , denotado por , é uma matriz de dimensão definida por blocos como:
onde ai j são os elementos da matriz A.
Exemplo:
Sejam as matrizes:
A=(ll 1 & 2 3 & 4 )
e
B=(cc 0 & 1 -1 & 2 )
Aqui, A tem dimensão m=2 times n=2 e B tem dimensão p=2 times q=2. O produto de Kronecker A otimes B terá dimensão (2 times 2) times(2 times 2)=4 times 4.
Aplicando a definição:
O exemplo acima ilustra como o produto de Kronecker combina os elementos de duas matrizes para formar uma matriz maior com uma estrutura de blocos bem definida.
a) Considere a coluna valor na tabela acima como uma matriz coluna. Leia com atenção a definição e o exemplo de produto de Kronecker acima. Agora obtenha a matriz X=I3 otimes 14 times 1, em que 14 times 1 é a matriz coluna de uns de dimensão 4 times 1. Note que a matrix X é o resultado
do produto de Kronecker de uma matriz identidade de ordem três e uma matriz coluna de uns de dimensão 4 times 1.
b) Agora obtenha X^top X e X^top Y.
c) Resolva usando o método de Gauss-Jordan o sistema linear (X^top X) beta=X^top Y em que
beta=(l beta1 beta2 beta3 beta4 )
Podemos afirmar que os valores da variáveis betai, i=A, B, C, obtidos da resolução do sistema, correspondem aos valores médios observados desses produtos?
Passo 1
O enunciado pede que a gente use o produto de Kronecker para construir X= I3otimes14times1, onde 14times1 é a coluna de uns de dimensão 4times1, e depois calcule X^top X, X^top Y e resolva o sistema
l( X^top Xr)boldsymbolbeta= X^top Y
pelo método de Gauss–Jordan. Por fim, verificar se os betai correspondem às médias dos blocos de Y.
Passo 2
Como I3=(aij) tem aii=1 e aij=0 para ineq j, o produto de Kronecker gera três blocos de 4times1. Expandindo em forma de matriz de indicadores de grupo,