(2,00 pontos) Demonstre que o produto misto pode ser usado para determinar a linearidade de três vetores em .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que três vetores em são linearmente dependentes se, e somente se, o produto misto deles for zero. Vamos usar a definição do produto misto como determinante e a caracterização de dependência linear via determinante nulo.
Passo 2
Definimos o produto misto de por
Esse determinante também representa o volume orientado do paralelepípedo com arestas u,v,w.
Passo 3
Necessidade. Suponha que v1,v2,v3 sejam linearmente dependentes. Então existem escalares alpha,beta,gamma, não todos zero, tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=0
Isto implica que as colunas da matriz A=[v1;v2;v3] são linearmente dependentes, e portanto
det A=0
Mas det A=(v1timesv2)cdotv3. Logo o produto misto é zero.
Passo 4
Suficiência. Suponha que o produto misto
(v1timesv2)cdotv3 ;=; det[v1;v2;v3] ;=; 0
Então a matriz A=[v1;v2;v3] tem determinante zero, o que implica que suas colunas são linearmente dependentes. Assim v1,v2,v3 são linearmente dependentes.
Resposta
Três vetores v1,v2,v3 em R^3 são linearmente dependentes se, e somente se,