(2,00 pontos) Demonstre que o produto misto pode ser usado para determinar a linearidade de três vetores em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que três vetores em R^3 são linearmente dependentes se, e somente se, o produto misto deles for zero. Vamos usar a definição do produto misto como determinante e a caracterização de dependência linear via determinante nulo.

Passo 2

Definimos o produto misto de u,v,winR^3 por
[u,v,w] ;equiv; (utimesv)cdotw ;=; u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3
Esse determinante também representa o volume orientado do paralelepípedo com arestas u,v,w.

Passo 3

Necessidade. Suponha que v1,v2,v3 sejam linearmente dependentes. Então existem escalares alpha,beta,gamma, não todos zero, tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=0
Isto implica que as colunas da matriz A=[v1;v2;v3] são linearmente dependentes, e portanto
det A=0
Mas det A=(v1timesv2)cdotv3. Logo o produto misto é zero.

Passo 4

Suficiência. Suponha que o produto misto
(v1timesv2)cdotv3 ;=; det[v1;v2;v3] ;=; 0
Então a matriz A=[v1;v2;v3] tem determinante zero, o que implica que suas colunas são linearmente dependentes. Assim v1,v2,v3 são linearmente dependentes.

Resposta

Três vetores v1,v2,v3 em R^3 são linearmente dependentes se, e somente se,
(v1timesv2)cdotv3 ;=; 0

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