Exercício 9. Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo O y que satisfaz as condições: v cdot a=12 e v cdot b=6, onde a=(1,2,-4) e b=(-1,2,6).

Passo 1

O enunciado pede um vetor v que seja ortogonal ao eixo Oy e satisfaça
vcdota=12 e vcdotb=6, onde a=(1,2,-4) e b=(-1,2,6).
O conteúdo envolve ortogonalidade (produto escalar nulo) e solução de um sistema linear vindo de produtos escalares.

Passo 2

Para ser ortogonal ao eixo Oy (direção (0,1,0)), vale
vcdot(0,1,0)=0
Se escrevemos v=(v1,v2,v3), então
v2=0
e podemos tomar
v=(v1,0,v3)

Passo 3

Impondo os produtos escalares com a e b, obtemos as equações
vcdota=v1cdot1+0cdot2+v3cdot(-4)=v1-4v3=12,
vcdotb=v1cdot(-1)+0cdot2+v3cdot6=-v1+6v3=6

Passo 4

Somando as duas equações para eliminar v1:
(v1-4v3)+(-v1+6v3)=12+6
2v3=18Longrightarrow v3=9
Substituindo em v1-4v3=12:
v1-4cdot9=12Longrightarrow v1=48

Resposta

v=(48,0,9)

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