(2,00 pontos) Mostre que a troca de dois vetores no produto misto muda seu sinal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no produto misto de três vetores
, trocar dois desses vetores inverte o sinal do resultado. O conteúdo envolve definição de produto misto via dot e cross e a relação com determinantes de matrizes
.
Passo 2
Lembramos que o produto misto pode ser escrito como
onde as colunas da matriz são as componentes de
.
Passo 3
Sabemos da álgebra linear que, ao trocar duas colunas de um determinante, o seu valor muda de sinal. Assim, ao permutar as colunas correspondentes a
e
temos
Passo 4
Reescrevendo o determinante da direita em termos de produto misto, obtemos
Portanto, a troca de
e
inverte o sinal do produto misto:
Resposta
A troca de dois vetores no produto misto inverte o sinal do resultado.