(2,00 pontos) Mostre que a troca de dois vetores no produto misto muda seu sinal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no produto misto de três vetores vec a,vec b,vec c, trocar dois desses vetores inverte o sinal do resultado. O conteúdo envolve definição de produto misto via dot e cross e a relação com determinantes de matrizes 3times3.

Passo 2

Lembramos que o produto misto pode ser escrito como
vec acdot(vec btimesvec c) =detl[;vec a;;vec b;;vec c;r],
onde as colunas da matriz são as componentes de vec a,vec b,vec c.

Passo 3

Sabemos da álgebra linear que, ao trocar duas colunas de um determinante, o seu valor muda de sinal. Assim, ao permutar as colunas correspondentes a vec a e vec b temos
detl[;vec a;;vec b;;vec c;r] =-detl[;vec b;;vec a;;vec c;r]

Passo 4

Reescrevendo o determinante da direita em termos de produto misto, obtemos
-detl[;vec b;;vec a;;vec c;r] =-l(vec bcdot(vec atimesvec c)r)
Portanto, a troca de vec a e vec b inverte o sinal do produto misto:
vec acdot(vec btimesvec c) =-,vec bcdot(vec atimesvec c)

Resposta

A troca de dois vetores no produto misto inverte o sinal do resultado.

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