(2,00 pontos) Responda às questões a seguir, que abordam conceitos relacionados ao produto misto de vetores no espaço tridimensional:
(a) Explique como o conceito de orientação está relacionado ao produto misto.
(b) Qual a interpretação geométrica do módulo do produto misto?
Passo 1
O enunciado pede para discutir dois pontos sobre o produto misto de vetores em : a relação com o conceito de orientação e a interpretação geométrica do módulo do produto misto. Vamos usar a definição
e conceitos de orientação de bases e volume de paralelogramos ou paralelepípedos.
Passo 2
Para entender como o produto misto se relaciona com orientação, lembramos que em uma base é dita orientada positivamente (ou direita) se segue a regra da mão direita. O sinal de
é positivo exatamente quando forma uma base direita.
Passo 3
Mais precisamente, se permutarmos ciclicamente os vetores o produto misto mantém o sinal (orientação preservada), mas se fizermos uma transposição simples—isto é, trocarmos dois vetores—a orientação inverte e o produto misto muda de sinal. Logo
significa que é uma base direita, enquanto
indica uma base esquerda.
Passo 4
Quanto à interpretação geométrica do módulo do produto misto, note que
é a área do paralelogramo formado por e . Ao então fazer o produto escalar com , projetamos na direção perpendicular ao plano de , obtendo a altura do paralelepípedo.
Passo 5
Dessa forma o valor absoluto
é exatamente o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a, b, c. Como caso especial, o volume do tetraedro com esses vetores como arestas a partir de um vértice é tfrac16l|[ a, b, c]r|.
Resposta
(a) O sinal de [ a, b, c] reflete a orientação de ( a, b, c): é positivo para bases direitas e negativo para bases esquerdas.
(b) l|[ a, b, c]r| é o volume do paralelepípedo gerado por a, b e c.