(2,00 pontos) Responda às questões a seguir, que abordam conceitos relacionados ao produto misto de vetores no espaço tridimensional:
(a) Explique como o conceito de orientação está relacionado ao produto misto.
(b) Qual a interpretação geométrica do módulo do produto misto?

Passo 1

O enunciado pede para discutir dois pontos sobre o produto misto de vetores em R^3: a relação com o conceito de orientação e a interpretação geométrica do módulo do produto misto. Vamos usar a definição
[ a, b, c]= acdot( btimes c)
e conceitos de orientação de bases e volume de paralelogramos ou paralelepípedos.

Passo 2

Para entender como o produto misto se relaciona com orientação, lembramos que em R^3 uma base ( u, v, w) é dita orientada positivamente (ou direita) se segue a regra da mão direita. O sinal de
[ u, v, w]
é positivo exatamente quando ( u, v, w) forma uma base direita.

Passo 3

Mais precisamente, se permutarmos ciclicamente os vetores u, v, w o produto misto mantém o sinal (orientação preservada), mas se fizermos uma transposição simples—isto é, trocarmos dois vetores—a orientação inverte e o produto misto muda de sinal. Logo
[ a, b, c]>0
significa que ( a, b, c) é uma base direita, enquanto
[ a, b, c]<0
indica uma base esquerda.

Passo 4

Quanto à interpretação geométrica do módulo do produto misto, note que
| btimes c|
é a área do paralelogramo formado por b e c. Ao então fazer o produto escalar com a, projetamos a na direção perpendicular ao plano de b, c, obtendo a altura do paralelepípedo.

Passo 5

Dessa forma o valor absoluto
l|[ a, b, c]r|
é exatamente o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a, b, c. Como caso especial, o volume do tetraedro com esses vetores como arestas a partir de um vértice é tfrac16l|[ a, b, c]r|.

Resposta

(a) O sinal de [ a, b, c] reflete a orientação de ( a, b, c): é positivo para bases direitas e negativo para bases esquerdas.
(b) l|[ a, b, c]r| é o volume do paralelepípedo gerado por a, b e c.

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