(3.00 pontos) Determine os pontos e os valores extremos da funçāo
f(x, y)=x y^{5}
restrito ao conjunto
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, y \geq 0, \text { e } 4 x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} .

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos e os valores extremos da função
f(x,y)=x y^{5}
restrita ao conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; 4x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio de restrição A é o setor elíptico no primeiro quadrante (inclui as bordas) limitado pela elipse 4x^{2}+y^{2}=1 e pelos eixos x=0 e y=0.
  • A função é contínua em \mathbb{R}^2.
    As perguntas são: quais são os pontos de máximo e mínimo em A e quais são os valores máximos e mínimos.

Passo 2

Existência de extremos (teorema de Weierstrass) — explicação e aplicação:
  • Teorema: uma função contínua em um conjunto compacto atinge máximo e mínimo nesse conjunto.
  • O conjunto A é fechado (é definido por desigualdades contínuas e inclui as fronteiras) e limitado (fica dentro do retângulo [0,1/2]\times[0,1]), logo é compacto.
  • Como f é contínua, f tem máximo e mínimo em A. Portanto faz sentido procurar pontos críticos no interior e analisar as fronteiras.

Passo 3

Procurar pontos críticos no interior de A (pontos com x>0,\;y>0 e 4x^{2}+y^{2}<1):
  • Calculo das derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=y^{5},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=5x y^{4}.
  • Um ponto crítico interior precisa satisfazer \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0.
  • Da primeira equação vem y^{5}=0\Rightarrow y=0. Mas y=0 não é ponto interior (fica na fronteira). Portanto não existem pontos críticos no interior com x>0,y>0.
    Conclusão: nenhum extremo ocorre no interior; todos estão na fronteira de A.

Passo 4

Analisar a fronteira: partes da fronteira são (1) eixo x=0 com 0\le y\le 1, (2) eixo y=0 com 0\le x\le 1/2, (3) arco da elipse 4x^{2}+y^{2}=1 com x\ge0,y\ge0.
Primeiro examinemos (1) e (2).

Passo 5

Fronteira x=0 (com 0\le y\le 1):
  • Substituindo em f: f(0,y)=0\cdot y^{5}=0 para todo y\in[0,1].
    Portanto sobre essa aresta f\equiv 0.

Passo 6

Fronteira y=0 (com 0\le x\le 1/2):
  • Substituindo em f: f(x,0)=x\cdot 0^{5}=0 para todo x\in[0,1/2].
    Portanto sobre essa aresta f\equiv 0.
Observação: já temos muitos pontos com valor 0. Como x\ge0 e y\ge0, f(x,y)=x y^5\ge0 para todo A. Então 0 é candidato a mínimo global (não pode haver valor negativo).

Passo 7

Fronteira elíptica 4x^{2}+y^{2}=1 (com x\ge0,y\ge0): usar multiplicadores de Lagrange.
  • Método (intuição): para extremizar f sujeito à restrição g(x,y)=4x^{2}+y^{2}-1=0, procuramos \nabla f=\lambda \nabla g.
  • Gradientes:
\nabla f=(y^{5},\;5x y^{4}),\qquad \nabla g=(8x,\;2y).
  • Sistema de Lagrange:
y^{5}=\lambda\,8x,\qquad 5x y^{4}=\lambda\,2y,\qquad 4x^{2}+y^{2}=1.

Passo 8

Resolver o sistema de Lagrange (casos):
  • Caso y=0: então da restrição 4x^{2}=1\Rightarrow x=\tfrac{1}{2} (como x\ge0). Esse ponto é \left(\tfrac{1}{2},0\right) e já sabemos f\left(\tfrac{1}{2},0\right)=0 (já tratado na aresta y=0).
  • Agora suponha y>0. Então podemos dividir a segunda equação por y:
5x y^{3}=\lambda\,2.
Da primeira equação temos \lambda=\dfrac{y^{5}}{8x}. Substituindo nessa última:
5x y^{3}=\frac{y^{5}}{8x}\cdot 2=\frac{y^{5}}{4x}.
  • Se y>0 podemos dividir por y^{3} e obter:
5x=\frac{y^{2}}{4x}.
Multiplicando ambos os lados por 4x:
20x^{2}=y^{2}.
  • Substituir na restrição 4x^{2}+y^{2}=1:
4x^{2}+20x^{2}=24x^{2}=1\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{24}.
Como x\ge0, temos
x=\frac{1}{\sqrt{24}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}.
  • E
y^{2}=20x^{2}=20\cdot\frac{1}{24}=\frac{5}{6}\quad\Rightarrow\quad y=\sqrt{\frac{5}{6}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.
Portanto o candidato da elipse no primeiro quadrante é
\left(\frac{1}{\sqrt{24}},\;\sqrt{\frac{5}{6}}\right).

Passo 9

Avaliar f nesse ponto (cálculo detalhado):
  • Primeiro calcule y^{5} usando y^{2}=\tfrac{5}{6}:
y^{5}=y^{4}\,y=(y^{2})^{2}y=\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\sqrt{\frac{5}{6}}=\frac{25}{36}\sqrt{\frac{5}{6}}.
  • Multiplicando por x=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}:
f\!\left(\frac{1}{\sqrt{24}},\sqrt{\frac{5}{6}}\right) = x\,y^{5} =\frac{1}{2\sqrt{6}}\cdot\frac{25}{36}\sqrt{\frac{5}{6}} =\frac{25\sqrt{5}}{432}.
(Detalhe das operações: 2\sqrt{6}\cdot 36\sqrt{6}=72\cdot 6=432.)
  • Valor numérico aproximado: \dfrac{25\sqrt{5}}{432}\approx 0,1296.
  • Observação final: como f\ge0 em A, esse ponto com valor positivo é um candidato a máximo global. Não há outros pontos da elipse com y>0 que satisfaçam o sistema (obtivemos solução única no primeiro quadrante), e nas arestas o valor é zero. Logo esse ponto fornece o máximo global.

Passo 10

Concluir extremos, justificar unicidade e listar pontos onde mínimo é atingido:
  • Mínimo global: 0. Atingido em toda a união das arestas onde x=0 ou y=0 dentro da elipse, isto é nos pontos
\{(x,0)\mid 0\le x\le 1/2\}\\ \cup\\ \{(0,y)\mid 0\le y\le 1\}.
  • Máximo global: ponto único no primeiro quadrante da elipse
\left(\frac{1}{\sqrt{24}},\;\sqrt{\frac{5}{6}}\right)
com valor
f_{\max}=\frac{25\sqrt{5}}{432}.

Resposta

Máximo: \left(\dfrac{1}{\sqrt{24}},\;\sqrt{\dfrac{5}{6}}\right) com valor \dfrac{25\sqrt{5}}{432}.
Mínimo: valor 0, atingido em \{(x,0)\mid 0\le x\le 1/2\}\cup\{(0,y)\mid 0\le y\le 1\}.

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