(3.00 pontos) Determine os pontos e os valores extremos da funçāo
restrito ao conjunto
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos e os valores extremos da função
restrita ao conjunto
Informações relevantes fornecidas:
- O domínio de restrição
é o setor elíptico no primeiro quadrante (inclui as bordas) limitado pela elipse e pelos eixos e . - A função é contínua em
.
As perguntas são: quais são os pontos de máximo e mínimo eme quais são os valores máximos e mínimos.
Passo 2
Existência de extremos (teorema de Weierstrass) — explicação e aplicação:
- Teorema: uma função contínua em um conjunto compacto atinge máximo e mínimo nesse conjunto.
- O conjunto
é fechado (é definido por desigualdades contínuas e inclui as fronteiras) e limitado (fica dentro do retângulo ), logo é compacto. - Como
é contínua, tem máximo e mínimo em . Portanto faz sentido procurar pontos críticos no interior e analisar as fronteiras.
Passo 3
Procurar pontos críticos no interior de
(pontos com
e
):
- Calculo das derivadas parciais:
- Um ponto crítico interior precisa satisfazer
e . - Da primeira equação vem
. Mas não é ponto interior (fica na fronteira). Portanto não existem pontos críticos no interior com .
Conclusão: nenhum extremo ocorre no interior; todos estão na fronteira de.
Passo 4
Analisar a fronteira: partes da fronteira são (1) eixo
com
, (2) eixo
com
, (3) arco da elipse
com
.
Primeiro examinemos (1) e (2).
Primeiro examinemos (1) e (2).
Passo 5
Fronteira
(com
):
- Substituindo em
: para todo .
Portanto sobre essa aresta.
Passo 6
Fronteira
(com
):
- Substituindo em
: para todo .
Portanto sobre essa aresta.
Observação: já temos muitos pontos com valor
. Como
e
,
para todo
. Então
é candidato a mínimo global (não pode haver valor negativo).
Passo 7
Fronteira elíptica
(com
): usar multiplicadores de Lagrange.
- Método (intuição): para extremizar
sujeito à restrição , procuramos . - Gradientes:
- Sistema de Lagrange:
Passo 8
Resolver o sistema de Lagrange (casos):
- Caso
: então da restrição (como ). Esse ponto é e já sabemos (já tratado na aresta ). - Agora suponha
. Então podemos dividir a segunda equação por :
Da primeira equação temos
. Substituindo nessa última:
- Se
podemos dividir por e obter:
Multiplicando ambos os lados por
:
- Substituir na restrição
:
Como
, temos
- E
Portanto o candidato da elipse no primeiro quadrante é
Passo 9
Avaliar
nesse ponto (cálculo detalhado):
- Primeiro calcule
usando :
- Multiplicando por
:
(Detalhe das operações:
.)
- Valor numérico aproximado:
. - Observação final: como
em , esse ponto com valor positivo é um candidato a máximo global. Não há outros pontos da elipse com que satisfaçam o sistema (obtivemos solução única no primeiro quadrante), e nas arestas o valor é zero. Logo esse ponto fornece o máximo global.
Passo 10
Concluir extremos, justificar unicidade e listar pontos onde mínimo é atingido:
- Mínimo global:
. Atingido em toda a união das arestas onde ou dentro da elipse, isto é nos pontos
- Máximo global: ponto único no primeiro quadrante da elipse
com valor
Resposta
Máximo:
com valor
Mínimo: valor
, atingido em
.