Seja E o sólido interior ao cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, abaixo do plano z=1. Descreva E por meio de inequações, usando:
coordenadas esféricas. Em cada caso, escreva a expressão de \iiint_{E} f(x, y, z) d V como integral iterada, por meio das coordenadas correspondentes.

Passo 1

O enunciado dá um sólido E e pede duas coisas: descrever E por meio de inequações em coordenadas esféricas e escrever a integral
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV
como integral iterada usando essas coordenadas. Informações relevantes do enunciado que vou usar sem resolver ainda:
\text{cone: } z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\text{plano superior: } z=1
\text{o sólido é ``interior ao cone'' e está abaixo de } z=1.óéá

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas da mudança para coordenadas esféricas e explicar o que cada variável significa (não pule isto na prova!):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde
\rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo medido a partir do eixo +z (ou seja, \varphi=0 aponta para cima) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy. O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Sempre explique e memorize essas relações — na prova elas salvam tempo.

Passo 3

Transformo a equação do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas. No lado direito temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r (rádio cilíndrico), e em esféricas r=\rho\sin\varphi e z=\rho\cos\varphi. Portanto:
\rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi.
Como \rho>0 dentro do sólido (exceto na origem), posso cancelar \rho e obter
\cos\varphi=\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \tan\varphi=1.
Assim
\varphi=\frac{\pi}{4}.
Interpretação: a superfície do cone corresponde à esfera angular \varphi=\pi/4. O “interior ao cone” (região perto do eixo z entre o eixo e a superfície do cone) corresponde a ângulos menores ou iguais a \pi/4, isto é
0\le\varphi\le\frac{\pi}{4}.
(Expliquei isso porque às vezes confundem interior com exterior — comparar sinais de \cos\varphi e \sin\varphi ajuda.)

Passo 4

Agora transformo o plano z=1 em esféricas. Como z=\rho\cos\varphi, a condição z=1 vira
\rho\cos\varphi=1 \quad\Rightarrow\quad \rho=\frac{1}{\cos\varphi}=\operatorname{sec}\varphi.
Esse é o valor de \rho na interseção com o plano, para cada \varphi. No sólido estamos “abaixo do plano z=1”, ou seja z\le 1, mas como já fixamos que z está entre o cone e o plano e \rho\ge0, a dimensão radial varia de \rho=0 (origem) até \rho=\operatorname{sec}\varphi. Portanto
0\le\rho\le\operatorname{sec}\varphi.

Passo 5

Também precisamos dos limites para \theta. O sólido é simétrico em torno do eixo z e engloba todo o círculo (x,y) na interseção, logo
0\le\theta\le 2\pi.
Juntando tudo, a descrição por inequações em coordenadas esféricas é:
0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\qquad 0\le\rho\le\operatorname{sec}\varphi.

Passo 6

Finalmente escrevo a integral iterada. Substituo x,y,z por suas expressões em esféricas e uso dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. A integral fica
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{\operatorname{sec}\varphi} f\big(\rho\sin\varphi\cos\theta,\;\rho\sin\varphi\sin\theta,\;\rho\cos\varphi\big)\;\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Esse é o formato que você deve escrever na prova; explique cada limite como fiz acima.

Resposta

Inequações em coordenadas esféricas:
0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\qquad 0\le\rho\le\operatorname{sec}\varphi.
Expressão como integral iterada:
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\operatorname{sec}\varphi} f\big(\rho\sin\varphi\cos\theta,\;\rho\sin\varphi\sin\theta,\;\rho\cos\varphi\big)\;\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

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