Seja
o sólido interior ao cone
, abaixo do plano
. Descreva
por meio de inequações, usando:
coordenadas esféricas. Em cada caso, escreva a expressão de
como integral iterada, por meio das coordenadas correspondentes.
coordenadas esféricas. Em cada caso, escreva a expressão de
Passo 1
O enunciado dá um sólido
e pede duas coisas: descrever
por meio de inequações em coordenadas esféricas e escrever a integral
como integral iterada usando essas coordenadas. Informações relevantes do enunciado que vou usar sem resolver ainda:
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas da mudança para coordenadas esféricas e explicar o que cada variável significa (não pule isto na prova!):
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo medido a partir do eixo
(ou seja,
aponta para cima) e
é o ângulo azimutal no plano
. O elemento de volume em esféricas é
Sempre explique e memorize essas relações — na prova elas salvam tempo.
Passo 3
Transformo a equação do cone
em esféricas. No lado direito temos
(rádio cilíndrico), e em esféricas
e
. Portanto:
Como
dentro do sólido (exceto na origem), posso cancelar
e obter
Assim
Interpretação: a superfície do cone corresponde à esfera angular
. O “interior ao cone” (região perto do eixo
entre o eixo e a superfície do cone) corresponde a ângulos menores ou iguais a
, isto é
(Expliquei isso porque às vezes confundem interior com exterior — comparar sinais de
e
ajuda.)
Passo 4
Agora transformo o plano
em esféricas. Como
, a condição
vira
Esse é o valor de
na interseção com o plano, para cada
. No sólido estamos “abaixo do plano
”, ou seja
, mas como já fixamos que
está entre o cone e o plano e
, a dimensão radial varia de
(origem) até
. Portanto
Passo 5
Também precisamos dos limites para
. O sólido é simétrico em torno do eixo
e engloba todo o círculo
na interseção, logo
Juntando tudo, a descrição por inequações em coordenadas esféricas é:
Passo 6
Finalmente escrevo a integral iterada. Substituo
por suas expressões em esféricas e uso
. A integral fica
Esse é o formato que você deve escrever na prova; explique cada limite como fiz acima.
Resposta
Inequações em coordenadas esféricas:
Expressão como integral iterada: