Seja
o sólido interior ao cone
, abaixo do plano
. Descreva
por meio de inequações, usando:
coordenadas cilíndricas; Em cada caso, escreva a expressão de
como integral iterada, por meio das coordenadas correspondentes.
coordenadas cilíndricas; Em cada caso, escreva a expressão de
Passo 1
O enunciado dá o sólido
e pede duas coisas claras:
- Descrever
por meio de inequações usando coordenadas cilíndricas. - Escrever a expressão de
como integral iterada no sistema cilíndrico.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A superfície cônica é
. - O plano superior é
. - O sólido é o interior ao cone e está abaixo do plano
(ou seja: pontos dentro do cone e com não ultrapassando ).
Passo 2
Primeira coisa: lembrar como ficam as coordenadas cilíndricas e o elemento de volume.
- Definição das coordenadas cilíndricas:
onde é a distância radial no plano e é o ângulo polar. - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas vale
Explicação rápida do porquê: um pequeno retângulo angular tem área aproximada , e ao incluir a altura temos .
Passo 3
Traduzir a equação do cone para cilíndricas.
- No plano
temos . Portanto a equação do cone fica - A condição “interior ao cone” significa que, para um mesmo
, o ponto está acima da superfície do cone, isto é - A condição "abaixo do plano
" é - Combinando as duas, obtemos
. Como e , segue que . - O ângulo
percorre toda a volta: .
Passo 4
Escrever a descrição de
por inequações em coordenadas cilíndricas (forma direta).
- Uma descrição direta é:
(Aqui usei a relação vinda da imagem/definição do cone.)
Passo 5
Montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas — forma com ordem
.
- Tomando
externo, no meio e interno (ou seja, primeiro integramos em para um dado ), os limites são: - Portanto a integral é
Passo 6
Montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas — forma alternativa com ordem
.
- Se preferirmos integrar primeiro em
para cada altura , note que para um dado (entre e ) temos . - Assim os limites ficam:
- A integral correspondente é