Seja E o sólido interior ao cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, abaixo do plano z=1. Descreva E por meio de inequações, usando:
coordenadas cilíndricas; Em cada caso, escreva a expressão de \iiint_{E} f(x, y, z) d V como integral iterada, por meio das coordenadas correspondentes.

Passo 1

O enunciado dá o sólido E e pede duas coisas claras:
  • Descrever E por meio de inequações usando coordenadas cilíndricas.
  • Escrever a expressão de \displaystyle \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV como integral iterada no sistema cilíndrico.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A superfície cônica é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O plano superior é z=1.
  • O sólido é o interior ao cone e está abaixo do plano z=1 (ou seja: pontos dentro do cone e com z não ultrapassando 1).

Passo 2

Primeira coisa: lembrar como ficam as coordenadas cilíndricas e o elemento de volume.
  • Definição das coordenadas cilíndricas: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,onde \;r\ge 0\; é a distância radial no plano xy e \theta é o ângulo polar.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas vale dV = r\,dr\,d\theta\,dz.Explicação rápida do porquê: um pequeno retângulo angular tem área aproximada r\,d\theta\cdot dr, e ao incluir a altura dz temos r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Traduzir a equação do cone para cilíndricas.
  • No plano xy temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Portanto a equação do cone fica z = r.
  • A condição “interior ao cone” significa que, para um mesmo (r,\theta), o ponto está acima da superfície do cone, isto é z \ge r.
  • A condição "abaixo do plano z=1" é z \le 1.
  • Combinando as duas, obtemos r \le z \le 1. Como z\le 1 e r\le z, segue que 0\le r\le 1.
  • O ângulo \theta percorre toda a volta: 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 4

Escrever a descrição de E por inequações em coordenadas cilíndricas (forma direta).
  • Uma descrição direta é: E=\{(r,\theta,z)\mid 0\le \theta\le 2\pi,\;0\le r\le 1,\;r\le z\le 1\}.(Aqui usei a relação r=\sqrt{x^2+y^2} vinda da imagem/definição do cone.)

Passo 5

Montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas — forma com ordem dz\,dr\,d\theta.
  • Tomando \theta externo, r no meio e z interno (ou seja, primeiro integramos em z para um dado r,\theta), os limites são: 0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 1,\qquad r\le z\le 1.
  • Portanto a integral é \displaystyle \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r}^{1} f\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;z\big)\; r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

Montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas — forma alternativa com ordem dr\,dz\,d\theta.
  • Se preferirmos integrar primeiro em r para cada altura z, note que para um dado z (entre 0 e 1) temos 0\le r\le z.
  • Assim os limites ficam: 0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le 1,\qquad 0\le r\le z.
  • A integral correspondente é \displaystyle \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{1}\int_{r=0}^{z} f\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;z\big)\; r\,dr\,dz\,d\theta.

Resposta

E=\{(r,\theta,z)\mid 0\le \theta\le 2\pi,\;0\le r\le 1,\;r\le z\le 1\}
\displaystyle \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r}^{1} f\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;z\big)\; r\,dz\,dr\,d\theta
\displaystyle \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{1}\int_{r=0}^{z} f\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;z\big)\; r\,dr\,dz\,d\theta

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