f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{4} y}{x^{4}+y^{4}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) Calcule as derivadas parciais de f no plano \mathbb{R}^{2}.
(b) Determine se f é diferenciável em todo ponto (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
(c) Calcule a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção do vetor unitário \vec{u}=(u, v) se existir.
Portanto, as derivadas parciais em (0,0) existem e valem 0.
Passo 4
Diferenciabilidade em pontos (x,y)\neq(0,0). Observação didática: se uma função é quociente de polinômios e o denominador é não nulo num ponto, a função é diferenciável (na verdade C^\infty) nesse ponto. Aqui, para qualquer (x,y)\neq(0,0) temos x^{4}+y^{4}>0, logo f é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0). Em termos práticos, as derivadas parciais calculadas no Passo 2 são contínuas longe da origem, confirmando diferenciabilidade fora da origem.
Passo 5
Verificação da diferenciabilidade em (0,0). Critério prático: f é diferenciável em (0,0) se existir uma aplicação linear L(h,k) tal que
Quando as derivadas parciais existem, a candidata natural é L(h,k)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)k. Do Passo 3 sabemos que ambas as derivadas parciais em (0,0) são zero, então a candidata é L\equiv 0. Assim a condição reduz a:
Agora vou mostrar que esse limite NÃO é zero, encontrando uma trajetória para a origem que dá limite não nulo. Considere a reta y=kx com k\neq0. Substituindo y=kx em f para x\neq0:
não existe ou não é zero. Conclusão: f não é diferenciável em (0,0).
Didaticamente: isso mostra que, apesar de existirem as derivadas parciais em (0,0), a aproximação linear com coeficientes dados por essas derivadas não aproxima bem f perto da origem — um clássico exemplo de que existência de derivadas parciais não garante diferenciabilidade.
Passo 6
Derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor unitário \vec{u}=(u,v). Definição: a derivada direcional de f em (0,0) na direção \vec{u} é
Esse valor não depende de t, logo o limite quando t\to 0 existe e é
D_{\vec{u}}f(0,0)=\frac{u^{4}v}{u^{4}+v^{4}}.
Observações: como \vec{u} é unitário, (u,v)\neq(0,0), portanto u^{4}+v^{4}>0 e a fração está bem definida. Note também a conexão com diferenciabilidade: se f fosse diferenciável em (0,0) com gradiente \nabla f(0,0)=(0,0), então todas as derivadas direcionais teriam que ser zero (pois \nabla f(0,0)\cdot\vec{u}=0), mas acabamos de ver que D_{\vec{u}}f(0,0) costuma ser diferente de zero para direções com v\neq0 — outra confirmação de que f não é diferenciável em (0,0).