(2.0) Encontre o ponto mais próximo da origem da curva interseção do plano y+2 z=4 e o cone z^{2}=4 x^{2}+4 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o ponto da curva que é a interseção do plano y+2z=4\) com o cone \(z^{2}=4x^{2}+4y^{2}\) que está mais próximo da origem. \n Informações dadas: \[\begin{cases} \text{plano: } & y+2z=4,\\[4pt] \text{cone: } & z^{2}=4x^{2}+4y^{2}. \end{cases}
O que queremos obter é o ponto ((x,y,z)] que satisfaz ambas as equações e que minimiza a distância até a origem.]

Passo 2

Em problemas de minimizar distância, é conveniente minimizar o quadrado da distância para evitar raiz quadrada. Defino a função que vamos minimizar:
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
As restrições são as duas equações dadas; escrevo-as como funções que devem ser zero:
g_{1}(x,y,z)=y+2z-4=0,\qquad g_{2}(x,y,z)=z^{2}-4x^{2}-4y^{2}=0.
Vou usar multiplicadores de Lagrange com duas restrições para encontrar candidatos a mínimo: existem multiplicadores \lambda e \mu tais que
\nabla f=\lambda\nabla g_{1}+\mu\nabla g_{2}.

Passo 3

Calculo os gradientes:
\nabla f=(2x,\,2y,\,2z),
\nabla g_{1}=(0,\,1,\,2),
\nabla g_{2}=(-8x,\,-8y,\,2z).
A condição de Lagrange dá o sistema de equações
2x= \lambda\cdot 0 + \mu\cdot(-8x),
2y= \lambda\cdot 1 + \mu\cdot(-8y),
2z= \lambda\cdot 2 + \mu\cdot(2z),
juntamente com as restrições
y+2z=4,\qquad z^{2}=4x^{2}+4y^{2}.

Passo 4

Reescrevo as equações de Lagrange de forma mais simples:
2x = -8\mu x \quad\Longrightarrow\quad x(2+8\mu)=0,
2y = \lambda -8\mu y,
2z = 2\lambda +2\mu z.
Da primeira equação temos duas possibilidades: (A) x=0 ou (B) \mu=-\tfrac{1}{4}. Vou analisar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso (A): x=0.
Com x=0 a equação do cone vira
z^{2}=4\cdot 0 +4y^{2}=4y^{2}\quad\Longrightarrow\quad z=\pm 2y.
Uso a equação do plano y+2z=4 em cada subcaso.
Subcaso (A1): z=2y. Substituindo no plano:
y + 2(2y)=y+4y=5y=4 \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{4}{5}.
Então
z=2y=2\cdot\tfrac{4}{5}=\tfrac{8}{5},\qquad x=0.
O ponto candidato é \left(0,\tfrac{4}{5},\tfrac{8}{5}\right).
Calculo a distância ao quadrado:
d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=0+\left(\tfrac{4}{5}\right)^{2}+\left(\tfrac{8}{5}\right)^{2}=\tfrac{16}{25}+\tfrac{64}{25}=\tfrac{80}{25}=\tfrac{16}{5}.
Subcaso (A2): z=-2y. Substituindo no plano:
y + 2(-2y)=y-4y=-3y=4 \quad\Longrightarrow\quad y=-\tfrac{4}{3}.
Então
z=-2y=-2\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=\tfrac{8}{3},\qquad x=0.
O ponto candidato é \left(0,-\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3}\right).
Calculo a distância ao quadrado:
d^{2}=0+\left(-\tfrac{4}{3}\right)^{2}+\left(\tfrac{8}{3}\right)^{2}=\tfrac{16}{9}+\tfrac{64}{9}=\tfrac{80}{9}.
Comparando os dois valores: \tfrac{16}{5}=3{,}2 e \tfrac{80}{9}\approx 8{,}89. Até aqui o menor é o ponto do subcaso (A1).

Passo 6

Caso (B): \mu=-\tfrac{1}{4}.
Substituo em 2ª e 3ª equações para ver se há solução real. Da segunda equação:
2y=\lambda -8\mu y = \lambda -8\left(-\tfrac{1}{4}\right)y=\lambda+2y \quad\Longrightarrow\quad \lambda=0.
Da terceira equação:
2z=2\lambda +2\mu z = 0 + 2\left(-\tfrac{1}{4}\right)z = -\tfrac{1}{2}z
que implica
2z + \tfrac{1}{2}z =0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{5}{2}z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=0.
Com z=0 e usando o plano y+2z=4 obtemos y=4. A equação do cone vira
0 = 4x^{2}+4y^{2}=4x^{2}+4\cdot 16=4x^{2}+64,
ou seja 4x^{2}=-64, o que não tem solução real. Portanto o caso \mu=-\tfrac{1}{4} não produz pontos reais na interseção.

Passo 7

Dos candidatos reais obtidos, os pontos são
\left(0,\tfrac{4}{5},\tfrac{8}{5}\right)\quad\text{com }d^{2}=\tfrac{16}{5},
e
\left(0,-\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3}\right)\quad\text{com }d^{2}=\tfrac{80}{9}.
Como \tfrac{16}{5}<\tfrac{80}{9}, o ponto mais próximo da origem é \left(0,\tfrac{4}{5},\tfrac{8}{5}\right). (Não há outras soluções reais, já que analisamos todas as alternativas vindas da condição x(2+8\mu)=0.)

Resposta

\displaystyle \left(0,\tfrac{4}{5},\tfrac{8}{5}\right)

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