(2.0) Encontre o ponto mais próximo da origem da curva interseção do plano
e o cone
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o ponto da curva que é a interseção do plano
O que queremos obter é o ponto ((x,y,z)] que satisfaz ambas as equações e que minimiza a distância até a origem.]
Passo 2
Em problemas de minimizar distância, é conveniente minimizar o quadrado da distância para evitar raiz quadrada. Defino a função que vamos minimizar:
As restrições são as duas equações dadas; escrevo-as como funções que devem ser zero:
Vou usar multiplicadores de Lagrange com duas restrições para encontrar candidatos a mínimo: existem multiplicadores
e
tais que
Passo 3
Calculo os gradientes:
A condição de Lagrange dá o sistema de equações
juntamente com as restrições
Passo 4
Reescrevo as equações de Lagrange de forma mais simples:
Da primeira equação temos duas possibilidades: (A)
ou (B)
. Vou analisar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso (A):
.
Com
a equação do cone vira
Uso a equação do plano
em cada subcaso.
Subcaso (A1):
. Substituindo no plano:
Então
O ponto candidato é
.
Calculo a distância ao quadrado:
Calculo a distância ao quadrado:
Subcaso (A2):
. Substituindo no plano:
Então
O ponto candidato é
.
Calculo a distância ao quadrado:
Calculo a distância ao quadrado:
Comparando os dois valores:
e
. Até aqui o menor é o ponto do subcaso (A1).
Passo 6
Caso (B):
.
Substituo em 2ª e 3ª equações para ver se há solução real. Da segunda equação:
Da terceira equação:
que implica
Com
e usando o plano
obtemos
. A equação do cone vira
ou seja
, o que não tem solução real. Portanto o caso
não produz pontos reais na interseção.
Passo 7
Dos candidatos reais obtidos, os pontos são
e
Como
, o ponto mais próximo da origem é
. (Não há outras soluções reais, já que analisamos todas as alternativas vindas da condição
.)