Pergunta-se: determinar as funções x(t) e y(t) que satisfazem esse sistema e as condições iniciais.
Informações relevantes dadas: os coeficientes são constantes (matriz constante), e temos condições iniciais em t=0.]
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial \mathbf{X}'=A\mathbf{X} para usar métodos de autovalores/autovetores. Definimos
Trabalhar com a matriz A nos permite buscar soluções da forma \mathbf{X}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} ou, quando houver multiplicidade algébrica, soluções envolvendo termos em t e^{\lambda t}.]
Passo 3
Calculemos os autovalores de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0. Temos a característica:
Como o autovalor \lambda=27 tem multiplicidade algébrica 2 mas a dimensão do espaço próprio (número de autovetores independentes) é 1, a matriz A não é diagonalizável. Nesses casos precisamos de um autovetor generalizado \mathbf{w} tal que
As duas equações são equivalentes (a segunda é -\tfrac{1}{2}\] da primeira), portanto há infinitas soluções; escolhemos uma solução conveniente para simplificar cálculos. Tomando \(w_2=0 a segunda equação dá w_1=1. Assim podemos escolher
\mathbf{w}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
(Qualquer vetor \mathbf{w} que satisfaça (A-27I)\mathbf{w}=\mathbf{v} serve; escolhemos esta por simplicidade.)]
Passo 7
Com \mathbf{v} e \mathbf{w} em mãos, escrevemos a solução geral:
Explicando a forma: quando temos um autovalor repetido e apenas um autovetor, aparece o termo t e^{\lambda t} multiplicando o autovetor; a presença do \mathbf{w} evita singularidade no sistema de equações para ajustar as constantes iniciais. Agora vamos decompor em componentes e achar C_1,C_2 pelas condições iniciais.
Passo 8
Substituindo \mathbf{v}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix} e \mathbf{w}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}, temos
Podemos, se quiser, checar rapidamente substituindo na equação original; essa verificação confirma que as funções satisfazem o sistema e as condições iniciais.