05 - Calcule
\int_{0}^{1} e^{-x} d x :
Pela regra do Trapézio Simples e por \frac{1}{2} de Simpson simples. Qual dos dois métodos é mais exato. Por que?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} e^{-x}\,dx
usando dois métodos numéricos: a Regra do Trapézio simples e a Regra de Simpson (aplicada com um único painel, isto é, com h=\tfrac{1}{2}). Também pede que eu diga qual dos dois métodos é mais exato e por quê.
Informações dadas e pontos importantes:
a=0,\quad b=1,\quad f(x)=e^{-x}.
As perguntas são:
  1. Calcular a aproximação pela Regra do Trapézio simples.
  2. Calcular a aproximação pela Regra de Simpson (com h=\tfrac{1}{2}).
  3. Dizer qual método é mais exato e justificar.

Passo 2

Calculo exato da integral (para termos referência):
Uma primitiva de e^{-x} é -e^{-x}. Assim,
\int_{0}^{1} e^{-x}\,dx = \Big[-e^{-x}\Big]_{0}^{1} = -e^{-1} - \big(-e^{0}\big) = 1 - e^{-1}.
Logo o valor exato é \displaystyle 1-e^{-1}.

Passo 3

Regra do Trapézio simples — explicação e cálculo passo a passo:
A Regra do Trapézio simples aproxima a área sob f em [a,b] por um trapézio que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). A fórmula é
T = \frac{b-a}{2}\big(f(a)+f(b)\big).
Aqui b-a=1, f(0)=e^{0}=1 e f(1)=e^{-1}. Substituindo,
T = \frac{1}{2}\big(1+e^{-1}\big).
Numéricas (usando e^{-1}\approx 0,3678794412):
T \approx \frac{1}{2}\big(1+0,3678794412\big)=0,6839397206.
Erro do trapézio (comparando com o valor exato): I-T\approx 0,6321205588-0,6839397206\approx -0,0518191618 (ou seja, o trapézio sobrestima a integral).
Comentário didático: a Regra do Trapézio é exata para funções lineares. O sinal do erro pode ser explicado pela curvatura: f''(x)=e^{-x}>0 em [0,1], ou seja, f é convexa para cima e a reta que liga os extremos fica acima da curva, produzindo sobrestima.

Passo 4

Regra de Simpson (uma aplicação com h=\tfrac{1}{2}) — explicação e cálculo:
A Regra de Simpson básica aproxima f por um polinômio quadrático que passa por x_0=a, x_1=a+h, x_2=b, com h=(b-a)/2. A fórmula é
S = \frac{h}{3}\big(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\big).
Aqui a=0, b=1, h=\tfrac{1}{2}, x_0=0, x_1=0,5, x_2=1. Calculamos as f(x):
f(0)=1,\quad f(0,5)=e^{-0,5}\approx 0,6065306597,\quad f(1)=e^{-1}\approx 0,3678794412.
Substituindo na fórmula:
S=\frac{1/2}{3}\big(1+4\cdot e^{-0,5}+e^{-1}\big)=\frac{1}{6}\big(1+4e^{-0,5}+e^{-1}\big).
Numérico:
S \approx \frac{1}{6}\big(1+4\cdot0,6065306597+0,3678794412\big)=0,6323336801.
Erro do Simpson: I-S\approx 0,6321205588-0,6323336801\approx -0,0002131213 (também uma pequena sobrestima, mas muito menor que a do trapézio).

Passo 5

Por que Simpson é mais exato — explicação teórica com as fórmulas de erro:
Fórmulas de erro (versão para um único painel, definindo I=\int_a^b f):
  • Erro do Trapézio: existe \xi\in(a,b) tal que
I-T = -\frac{(b-a)^3}{12}\,f''(\xi).
  • Erro de Simpson: existe \eta\in(a,b) tal que
I-S = -\frac{(b-a)^5}{2880}\,f^{(4)}(\eta).
Para f(x)=e^{-x} temos f''(x)=e^{-x} e f^{(4)}(x)=e^{-x}. Como e^{-x} é máximo em x=0 no intervalo, podemos estimar os limites superiores dos erros:
|I-T|\le \frac{(b-a)^3}{12}\max_{[0,1]}|f''| = \frac{1}{12}\cdot 1 \approx 0,0833333,
|I-S|\le \frac{(b-a)^5}{2880}\max_{[0,1]}|f^{(4)}| = \frac{1}{2880}\cdot 1 \approx 0,0003472.
Esses limites mostram que o erro do Simpson é, teoricamente, muito menor porque depende de (b-a)^5 enquanto o trapézio depende de (b-a)^3 (ordens de erro mais altas significam mais precisão, para funções suaves). Além disso, Simpson é exato para polinômios de grau até 3, enquanto o trapézio só é exato para grau até 1; por isso Simpson captura melhor a curvatura da função em um único painel.

Resposta

\displaystyle \text{Valor exato: } \int_{0}^{1} e^{-x}\,dx = 1-e^{-1} \approx 0,6321205588
\displaystyle \text{Trapézio simples: } T=\tfrac{1}{2}\big(1+e^{-1}\big)\approx 0,6839397206é
\displaystyle \text{Simpson (h=1/2): } S=\tfrac{1}{6}\big(1+4e^{-1/2}+e^{-1}\big)\approx 0,6323336801
Simpson é mais exato, porque tem ordem de erro mais alta (termo em (b-a)^5 envolvendo f^{(4)}) enquanto o trapézio tem termo de erro em (b-a)^3 envolvendo f''; na prática isso resulta em erro muito menor para Simpson neste problema.

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