05 - Calcule
:
Pela regra do Trapézio Simples e por
de Simpson simples. Qual dos dois métodos é mais exato. Por que?
Pela regra do Trapézio Simples e por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando dois métodos numéricos: a Regra do Trapézio simples e a Regra de Simpson (aplicada com um único painel, isto é, com
). Também pede que eu diga qual dos dois métodos é mais exato e por quê.
Informações dadas e pontos importantes:
Informações dadas e pontos importantes:
As perguntas são:
- Calcular a aproximação pela Regra do Trapézio simples.
- Calcular a aproximação pela Regra de Simpson (com
). - Dizer qual método é mais exato e justificar.
Passo 2
Calculo exato da integral (para termos referência):
Uma primitiva de é
. Assim,
Uma primitiva de
Logo o valor exato é
.
Passo 3
Regra do Trapézio simples — explicação e cálculo passo a passo:
A Regra do Trapézio simples aproxima a área sob em
por um trapézio que liga os pontos
e
. A fórmula é
A Regra do Trapézio simples aproxima a área sob
Aqui
,
e
. Substituindo,
Numéricas (usando
):
Erro do trapézio (comparando com o valor exato):
(ou seja, o trapézio sobrestima a integral).
Comentário didático: a Regra do Trapézio é exata para funções lineares. O sinal do erro pode ser explicado pela curvatura: em
, ou seja,
é convexa para cima e a reta que liga os extremos fica acima da curva, produzindo sobrestima.
Comentário didático: a Regra do Trapézio é exata para funções lineares. O sinal do erro pode ser explicado pela curvatura:
Passo 4
Regra de Simpson (uma aplicação com
) — explicação e cálculo:
A Regra de Simpson básica aproxima por um polinômio quadrático que passa por
,
,
, com
. A fórmula é
A Regra de Simpson básica aproxima
Aqui
,
,
,
,
,
. Calculamos as f(x):
Substituindo na fórmula:
Numérico:
Erro do Simpson:
(também uma pequena sobrestima, mas muito menor que a do trapézio).
Passo 5
Por que Simpson é mais exato — explicação teórica com as fórmulas de erro:
Fórmulas de erro (versão para um único painel, definindo ):
Fórmulas de erro (versão para um único painel, definindo
- Erro do Trapézio: existe
tal que
- Erro de Simpson: existe
tal que
Para
temos
e
. Como
é máximo em
no intervalo, podemos estimar os limites superiores dos erros:
Esses limites mostram que o erro do Simpson é, teoricamente, muito menor porque depende de
enquanto o trapézio depende de
(ordens de erro mais altas significam mais precisão, para funções suaves). Além disso, Simpson é exato para polinômios de grau até
, enquanto o trapézio só é exato para grau até
; por isso Simpson captura melhor a curvatura da função em um único painel.
Resposta
Simpson é mais exato, porque tem ordem de erro mais alta (termo em