1,00 Pto. Resolva o seguinte PVI:
y^prime=10x y-x^2, y(1)=4

Passo 1

O problema é um PVI de equação diferencial de primeira ordem:
Temos
y'=10x,y - x^2, y(1)=4
O conteúdo é resolução de equação de Bernoulli (invertendo a derivada para ter dx/dy). Vamos usar essa ideia para transformar em uma equação linear em função de x(y).

Passo 2

Começamos invertendo a derivada:
dxdy = x,y - x^210 = y10,x - 110x^2
Essa é uma equação de Bernoulli em x como função de y, pois aparece x^2.

Passo 3

Colocamos na forma padrão de Bernoulli:
dxdy - y10,x = -110x^2
Aqui P(y)=-tfracy10, Q(y)=-tfrac110 e o expoente é n=2.

Passo 4

Fazemos a substituição clássica de Bernoulli:
u = x^1-n = x^-1
Calculamos
dudy = -(1),x^-2dxdy = -x^-2dxdy

Passo 5

Agora substituímos dx/dy na expressão de du/dy:
dudy = -x^-2l(y10x - 110x^2r) = -y10,x^-1 + 110
Mas x^-1=u, então
$$\frac{du}{dy} + \frac{y}{10},u = \frac{1}{10}.
$$
Isso é uma equação linear em dudy + y10,u = 110 .

Passo 6

Calculamos o fator integrante:
$$\mu(y) = \exp\Bigl(\int \frac{y}{10},dy\Bigr) = \exp\bigl(\tfrac{y^2}{20}\bigr).
mu(y) = expl(integral y10,dyr) = expl(tfracy^220r) çãá\frac{d}{dy}\bigl(u,e{y2/20}\bigr) = \frac{1}{10}e{y2/20}.
mu(y)çãu,e{y2/20} = \frac{1}{10}\int e{y2/20},dy + C.
$$

Passo 7

Voltando a u = x^-1, obtemos a solução implícita:
$$\frac{e{y2/20}}{x} = \frac{1}{10}\int e{y2/20},dy + C.
e^y^2/20x = 110integral e^y^2/20,dy + C \frac{e{42/20}}{1} = e^{4/5} = \frac{1}{10}\int e{s2/20},ds\Big|_{s=0}^{4} + C.
$$
Assim
o termo y(1)=4 fica e^4^2/201 = e^4/5 = 110integral e^s^2/20,ds|s=0^4 + C , e podemos escrever o resultado final de forma mais limpa usando integral de C até e^4/5 - tfrac110integral0^4 e^s^2/20ds.

Resposta

A solução implícita satisfaz
$$\frac{e{y2/20}}{x} - e^{4/5} = \frac{1}{10}\int_{4}^{y} e{s2/20},ds,
e^y^2/20x - e^4/5 = 110integral4^y e^s^2/20,ds, \frac{e{y2/20}}{x} = e^{4/5} + \frac{1}{10}\int_{4}^{y} e{s2/20},ds.
$$

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