1,00 Pto. Resolva o seguinte PVI:
Passo 1
O problema é um PVI de equação diferencial de primeira ordem:
Temos
Temos
O conteúdo é resolução de equação de Bernoulli (invertendo a derivada para ter
Passo 2
Começamos invertendo a derivada:
Essa é uma equação de Bernoulli em
Passo 3
Colocamos na forma padrão de Bernoulli:
Aqui
Passo 4
Fazemos a substituição clássica de Bernoulli:
Calculamos
Passo 5
Agora substituímos
na expressão de
:
Mas
, então
$$\frac{du}{dy} + \frac{y}{10},u = \frac{1}{10}.
$$
Isso é uma equação linear em .
Isso é uma equação linear em
Passo 6
Calculamos o fator integrante:
$$\mu(y) = \exp\Bigl(\int \frac{y}{10},dy\Bigr) = \exp\bigl(\tfrac{y^2}{20}\bigr).
$$
Passo 7
Voltando a
, obtemos a solução implícita:
$$\frac{e{y2/20}}{x} = \frac{1}{10}\int e{y2/20},dy + C.
$$
Assim
o termo fica
, e podemos escrever o resultado final de forma mais limpa usando integral de
até
.
Assim
o termo
Resposta
A solução implícita satisfaz
$$\frac{e{y2/20}}{x} - e^{4/5} = \frac{1}{10}\int_{4}^{y} e{s2/20},ds,
$$