1,25 Ptos. Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
y^prime(x)-y=-e^4 xraiz7+e^3 x.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de primeira ordem
y'(x) - y = -e^4xraiz7 + e^3x
Conteúdo: equação diferencial linear de coeficientes não constantes. Vamos precisar do método do fator integrante.

Passo 2

Para equações da forma y' + P(x)y = Q(x), o fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx
Aqui temos P(x) = -1, então
mu(x) = e^integral -1,dx = e^-x

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(x)=e^-x. O lado esquerdo se torna a derivada de e^-xy:
e^-xy' - e^-xy = -e^4xraiz7 + e^3xe^-x Longrightarrow ddxl(e^-xyr) = -e^3xraiz7 + e^3x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
e^-xy = -integral e^3xraiz7 + e^3x,dx + C
Para resolver a integral, fazemos a substituição
t = 7 + e^3x, dt = 3e^3x,dx Longrightarrow e^3x,dx = dt3

Passo 5

Substituindo na integral:
-integral e^3xraiz7 + e^3x,dx = -integral 1raiztcdot dt3 = -13integral t^-1/2,dt = -13 cdot 2t^1/2 = -23raizt
Voltando a t=7+e^3x:
e^-xy = -23raiz7 + e^3x + C

Passo 6

Isolando y, basta multiplicar por e^x:
y(x) = -23e^xraiz7 + e^3x + Ce^x

Resposta

y(x) = -tfrac23e^xraiz7 + e^3x + Ce^x.

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