Calcule as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes:
integral0^12 cos (pi x) cos (pi x2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1/2 cos(pi x),cosl(tfracpi x2r),dx usando integração por partes, que é do conteúdo de cálculo integral. Vamos precisar da fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
e também de algumas identidades trigonométricas para simplificar o que sobrar.

Passo 2

Escolhemos
u = cos(pi x), dv = cosl(tfracpi x2r),dx
Então
du = -pi,sin(pi x),dx, v = integral cosl(tfracpi x2r)dx = 2pi,sinl(tfracpi x2r)
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral cos(pi x)cosl(tfracpi x2r)dx = u,v - integral v,du
ficamos com
2picos(pi x)sinl(tfracpi x2r) + 2integral sin(tfracpi x2),sin(pi x),dx

Passo 3

Para simplificar integral sin(tfracpi x2)sin(pi x),dx usamos a identidade
sin A,sin B = tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
com A=tfracpi x2 e B=pi x. Isso reduz a integral a:
2integral sin(tfracpi x2)sin(pi x)dx = integral l[cos(tfracpi x2) - cos(tfrac3pi x2)r]dx
Então a primitiva geral é
F(x)=2picos(pi x)sinl(tfracpi x2r) + 2pisinl(tfracpi x2r) - 23pisinl(tfrac3pi x2r)

Passo 4

Agora avaliamos F(x) de 0 a tfrac12. Em x=tfrac12 temos
Fl(tfrac12r)=0+2picdotraiz22-23picdotraiz22 = 2raiz23pi
então
x=0
Em F(0)=0, integral0^1/2 cos(pi x)cosl(tfracpi x2r)dx = 2raiz23pi . Logo

Resposta

2raiz23pi

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