1,00 Pto. Resolva:
x y^prime=y+7-ln ([y^prime+pi]^2)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x,y'=y+7-lnl([y'+pi]^2r)
O conteúdo é reconhecer que essa equação está na forma de Clairaut, ou seja, da forma y=xp+f(p) com p=y', e aplicar o método de equações de Clairaut.

Passo 2

Isolamos y em função de x,y':
y=x,y'+7-lnl([y'+pi]^2r)-7
Como -ln([y'+pi]^2)=-2ln|y'+pi|, fica:
y=x,y'+2ln|y'+pi|-7

Passo 3

Definimos p=y' e identificamos f(p)=2ln|p+pi|-7. A equação assume a forma de Clairaut:
$$
y=xp+f§$$

Passo 4

Para a solução geral de Clairaut, parametrizamos por c em lugar de p. Assim:
$$
y=cx+2\ln|c+\pi|-7$$
onde y=cx+2ln|c+pi|-7 é constante arbitrária.

Passo 5

Para obter a solução singular (envelope), usamos
$$
x=-f’§ x=-f'(p)
f’§=\frac{2}{p+\pi}\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{2}{p+\pi} f'(p)=2p+piRightarrow x=-2p+pi
p=-\frac{2}{x}-\pi p=-2x-pi
y=-2-\pi x+2\ln\Bigl|{-\tfrac{2}{x}}\Bigr|-7
$$
Que dá a forma final

Passo 6

Simplificando -2-7=-9 e 2ln|-2/x|=2ln2-2ln|x|, a solução singular fica:
y=-pi x-2ln|x|+2ln2-9

Resposta

A solução geral é
y=cx+2ln|c+pi|-7,
onde c é a constante de integração, e a solução singular (envelope) é
y=-pi x-2ln|x|+2ln2-9

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