1,00 Pto. Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo é reconhecer que essa equação está na forma de Clairaut, ou seja, da forma
com
, e aplicar o método de equações de Clairaut.
Passo 2
Isolamos
em função de
:
Como
, fica:
Passo 3
Definimos
e identificamos
. A equação assume a forma de Clairaut:
$$
y=xp+f§$$
Passo 4
Para a solução geral de Clairaut, parametrizamos por
em lugar de
. Assim:
$$
y=cx+2\ln|c+\pi|-7$$
onde é constante arbitrária.
onde
Passo 5
Para obter a solução singular (envelope), usamos
$$
x=-f’§
f’§=\frac{2}{p+\pi}\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{2}{p+\pi}
p=-\frac{2}{x}-\pi
y=-2-\pi x+2\ln\Bigl|{-\tfrac{2}{x}}\Bigr|-7
$$
Que dá a forma final
Que dá a forma final
Passo 6
Simplificando
e
, a solução singular fica:
Resposta
A solução geral é
onde
é a constante de integração, e a solução singular (envelope) é