Calcular a área da região limitada por:
y=2-x^2 e y^3=x^2

Passo 1

O exercício pede a área da região fechada pelas curvas y = 2 – x² e y³ = x², que é um problema de área entre duas funções usando integração.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, escrevemos ambas em função de x²:
x^2 = 2 - y
x^2 = y^3
Igualando as duas expressões:
2 - y = y^3
ou seja
y^3 + y - 2 = 0
A única raiz real é y = 1. Substituindo em x² = 2 – y, temos x² = 1, logo x = ±1. Os pontos de interseção são (–1,1) e (1,1).

Passo 3

Como as curvas são simétricas em relação ao eixo y, podemos integrar de 0 a 1 e duplicar o resultado. Em [0,1], a parábola y = 2 – x² fica acima da curva y = x^(2/3) (visto que, por exemplo, em x = 0.5, 2 – x² = 1.75 e x^(2/3) ≃ 0.63).
Montamos a integral da área:
A = integral-1^1 l[(2 - x^2) - x^2/3r] ,dx
que, por simetria, dá
A = 2 integral0^1 l(2 - x^2 - x^2/3r) ,dx

Passo 4

Calculamos cada termo:
integral0^1 2 ,dx = 2,
integral0^1 x^2 ,dx = tfrac13,
integral0^1 x^2/3 ,dx = l[35 x^5/3r]0^1 = 35
Portanto
A = 2l(2 - tfrac13 - tfrac35r) = 2 l(tfrac30 - 5 - 915r) = 2 cdot tfrac1615 = tfrac3215

Resposta

tfrac3215

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