Calcular a área da região limitada por:
e
Passo 1
O exercício pede a área da região fechada pelas curvas y = 2 – x² e y³ = x², que é um problema de área entre duas funções usando integração.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, escrevemos ambas em função de x²:
Igualando as duas expressões:
ou seja
A única raiz real é y = 1. Substituindo em x² = 2 – y, temos x² = 1, logo x = ±1. Os pontos de interseção são (–1,1) e (1,1).
Passo 3
Como as curvas são simétricas em relação ao eixo y, podemos integrar de 0 a 1 e duplicar o resultado. Em [0,1], a parábola y = 2 – x² fica acima da curva y = x^(2/3) (visto que, por exemplo, em x = 0.5, 2 – x² = 1.75 e x^(2/3) ≃ 0.63).
Montamos a integral da área:
Montamos a integral da área:
que, por simetria, dá
Passo 4
Calculamos cada termo:
Portanto