1,00 Pto. Resolva:
y^prime+(x^4-x^2+4)(4-3 y^2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' + (x^4 - x^2 + 4),l(4 - 3y^2r) = 0
que é uma EDO de primeira ordem e do tipo separável. Vamos separar variáveis e integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevendo y' = dydx e isolando termos em y de um lado e em x do outro, temos
dy4 - 3y^2 = -l(x^4 - x^2 + 4r),dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, observamos que
4 - 3y^2 = 4l(1 - (tfracraiz32y)^2r)
Fazendo a substituição u = tfracraiz32y, então dy = tfrac2raiz3,du, obtemos
integral dy4 - 3y^2 = integral tfrac2raiz3,du4(1 - u^2) = 12raiz3integral du1 - u^2 = 12raiz3,arctanh(u) = 12raiz3,arctanhl(tfracraiz32yr)

Passo 4

Do lado direito, integramos o polinômio:
integral -l(x^4 - x^2 + 4r)dx = -l(x^55 - x^33 + 4xr) + C

Passo 5

Igualando as duas integrais e agrupando a constante de integração, resulta
12raiz3,arctanhl(tfracraiz32yr) = -x^55 + x^33 - 4x + C
Multiplicando por 2raiz3 e aplicando tanh, isolamos y:
tfracraiz32y = tanhl(-tfrac2raiz35x^5 + tfrac2raiz33x^3 - 8raiz3,x + C1r)
e finalmente

Passo 6

final_answer":"A solução geral da EDO é
y(x) = 2raiz3,tanhl(-tfrac2raiz35x^5 + tfrac2raiz33x^3 - 8raiz3,x + C1r),
onde C1 é a constante arbitrária de integração."} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
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