Determinar o erro decorrente de tomarmos a diferencial d z como uma aproximação do acréscimo De, para as seguintes situações:
a) z=x^2+y^2 ;(x, y) passando de (1,2) para (1,01 ; 2,01).
b) z=raizx^2+y^2 ;(x, y) passando de (1,2) para (1,01 ; 2 ; 01).
c) z=x^2 y ;(x, y) passando de (2,4) para (2,1 ; 4,2).

Passo 1

O enunciado pede para cada função de duas variáveis calcular o erro que resulta de usar o diferencial dz como aproximação do incremento exato De. Vamos definir o erro como
erro = De
e usar o conceito de diferencial total:
dz = fx(x0,y0),De
Para cada item, achamos as derivadas parciais em (x0,y0), calculamos dz, depois De e por fim o erro.

Passo 2

Para a parte (a) onde z=x^2+y^2, o ponto vai de (1,2) para (1,01,2,01). Logo
De
em (1,2) isto dá
dz = (2cdot1)(0,01)+(2cdot2)(0,01)=0,02+0,04=0,06
O incremento exato é
De
Assim o erro é
De

Passo 3

Na parte (b) com z=raizx^2+y^2, trocamos também de (1,2) para (1,01,2,01). As derivadas são
fx=xraizx^2+y^2, fy=yraizx^2+y^2
Em (1,2), raizx^2+y^2=raiz5, então
dz = 1raiz5(0,01)+2raiz5(0,01)=0,03raiz5approx0,0134162
O valor exato é
De
Assim o erro fica
De

Passo 4

Na parte © com z=x^2y, o ponto vai de (2,4) para (2,1,4,2). Aqui
fx=2xy, fy=x^2, De
Em (2,4) temos fx=16 e fy=4, logo
dz =16(0,1)+4(0,2)=1,6+0,8=2,4
O incremento exato é
De
Logo o erro é
De

Resposta

a) 0,0002
b) –0,0000405
c) 0,122

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