0,50 Ptos. Cálcular a solução geral da equação:
y^prime=2 x+4x+y+2

Passo 1

Na questão, temos a equação diferencial de primeira ordem
dydx=2x+4x+y+2
O conteúdo envolve reconhecer uma equação que pode virar separável por uma mudança de variável adequada. Vamos usar teoria de equações homogêneas (ou quase homogêneas) e separáveis.

Passo 2

Observando que aparece sempre o termo x+2, fazemos a substituição
u=yx+2
Assim y=u(x+2) e
dydx=u+ (x+2)dudx

Passo 3

Substituindo na equação original:
u+(x+2)dudx=2(x+2)(x+2)(1+u)=21+u
Isolando du/dx:
(x+2)dudx=21+u-u= -(u-1)(u+2)1+u
Logo é uma equação separável:
u+1(u-1)(u+2),du=-dxx+2

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado de u:
integralu+1(u-1)(u+2),du=integrall(2/3u-1+1/3u+2r)du=tfrac23ln|u-1|+tfrac13ln|u+2|+C1
Do lado de x:
integral-dxx+2=-ln|x+2|+C2

Passo 5

Combinando as constantes e expondo logs:
2ln|u-1|+ln|u+2|=-3ln|x+2|+C,
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lnl((u-1)^2(u+2)r)=-3ln|x+2|+C
Longrightarrow (u-1)^2(u+2)=K(x+2)^-3
Voltando a u=y/(x+2), obtemos
(y-x-2)^2(y+2x+4)=constante

Resposta

(y - x - 2)^2 (y + 2x + 4) = C

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