Verifique se a integral imprópria converge ou diverge
integral0^pi / 2 cos xraiz1-sen x d x

Passo 1

A integral em questão é integral0^pi2cos xraiz1-senx,dx. O conteúdo envolve integrais impróprias: precisamos verificar se ela converge no ponto problemático x=tfracpi2 e, em seguida, calcular o valor usando substituição.

Passo 2

Para ver se converge, estudamos o comportamento quando xtotfracpi2. Como cos xapproxtfracpi2-x e 1-senxapproxtfrac12(tfracpi2-x)^2, temos
cos xraiz1-senxapproxtfracpi2-xraiztfrac12(tfracpi2-x)^2=raiz2,, ou seja, o integrando tende a um valor finito ( raiz2) quando xtotfracpi2. Logo não há divergência infinita e a integral converge.

Passo 3

Para calcular, faço a substituição u=1-senx, então du=-cos x,dx. Os limites passam de x=0 para u=1 e de x=tfracpi2 para u=0. Assim:
integral0^pi2cos xraiz1-senx,dx =integral1^0-duraizu =integral0^1u^-tfrac12,du =[2u^tfrac12]0^1 =2

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é 2.

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